第六章 平面向量及其應用
6.1 平面向量的概念
素養(yǎng)目標·定方向
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素養(yǎng)目標
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學法指導
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1.理解向量的有關概念及向量的幾何表示.(直觀想象)
2.理解共線向量、相等向量的概念.(數(shù)學抽象)
3.正確區(qū)分向量平行與直線平行.(邏輯推理)
4.能夠利用向量知識解決實際問題,培養(yǎng)數(shù)學建模能力.(數(shù)學建模)
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1.向量是一個既有大小又有方向的量,學習時可以結合物理中的矢量來學習,同時對比數(shù)量來感受要素的差異.
2.向量可以用有向線段來表示,因而必然具備有向線段的三要素:起點、方向、長度.學習向量的有關概念時注意類比有向線段,通過對特殊向量的認識,逐步把握向量的特征.
3.相等向量與共線向量之間有一些特殊關系,要善于對比數(shù)量特征加深認識.
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必備知識·探新知
知識點1 向量的基本概念與表示
1.向量的概念
(1)向量:既有__大小__又有__方向__的量叫做向量.
(2)數(shù)量:只有大小沒有__方向__的量稱為數(shù)量.
2.有向線段
(1)有向線段:具有__方向__的線段叫做有向線段.
(2)表示方法:以A為起點,B為終點的有向線段記作____.
(3)有向線段的長度:線段AB的長度也叫做有向線段的長度,記作__||__.
(4)有向線段的三要素:__起點__、__方向__、__長度__.
3.向量的表示方法
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幾何表示
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用__有向線段__來表示向量,有向線段的長度表示向量的__大小__,有向線段的方向表示向量的__方向__.即用有向線段的起點、終點字母表示,如,…
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字母表示
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用小寫字母a,b,c,…表示
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[知識解讀] 用小寫字母表示向量,手寫時必須加箭頭,如:a,b,c.書寫用 , , .
4.向量的相關概念
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向量的模
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向量的大小稱為向量的長度(或模),記作__||__
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零向量
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長度為0的向量叫做零向量,記作__0__
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單位向量
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長度等于__1個單位長度__的向量,叫做單位向量
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知識點2 相等向量與共線向量
1.平行向量:方向__相同或相反__的非零向量叫做平行向量,向量a與b平行,記作__a∥b__;規(guī)定:零向量與任意向量 __平行__,即對任意向量a,都有__0∥a__.
2.相等向量:長度__相等__且方向__相同__的向量叫做相等向量,記作a=b.
3.共線向量:平行向量也叫做共線向量.
[知識解讀] 1.理解平行向量的概念時,需注意,平行向量和平行直線是有區(qū)別的,平行直線不包括重合的情況,而平行向量是可以重合的.
2.共線向量就是平行向量,其中“共線”的含義不是平面幾何中“共線”的含義.實際上,共線向量(平行向量)有以下四種情況:方向相同且模相等;方向相同且模不等;方向相反且模相等;方向相反且模不等.這樣,也就找到了共線向量與相等向量的關系,即共線向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共線向量.共線向量是相等向量的必要條件.
關鍵能力·攻重難
題型探究
題型一 向量的有關概念
典例1 給出下列命題:
①時間、摩擦力、重力都是向量;
②兩個向量,當且僅當它們的起點相同,終點相同時才相等;
③若平面上所有單位向量的起點移到同一個點,則其終點在同一個圓上;
④在菱形ABCD中,一定有=.
其中所有正確命題的序號為__③④__.
[分析] 利用向量定義、相等向量、單位向量的定義進行判斷.
[解析] 時間不是向量,故①不正確.
兩個向量相等只要模相等且方向相同即可,而與起點和終點的位置無關,故②不正確.
單位向量的長度為1,當所有單位向量的起點在同一點O時,終點都在以O為圓心,1為半徑的圓上,故③正確.