9.2.4 總體離散程度的估計
[目標] 1.會求樣本的標準差、方差;2.會應(yīng)用相關(guān)知識解決實際統(tǒng)計問題.
[重點] 通過數(shù)字特征的計算,提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).
[難點] 借助實際統(tǒng)計問題的應(yīng)用,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
要點整合夯基礎(chǔ)
知識點 標準差、方差的概念與計算公式
[填一填]
1.標準差
標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的平均距離,一般用s表示,s=.
2.方差
標準差的平方s2叫做方差.
s2=·(yi-)2.
其中,yi是樣本數(shù)據(jù),n是樣本量,是樣本平均數(shù).
[答一答]
在統(tǒng)計中,計算方差的目的是什么?
提示:方差與標準差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小,其值越大,數(shù)據(jù)離散程度越大,當其值為0時,說明樣本各數(shù)據(jù)相等,沒有離散性.
典例講練破題型
類型 方差與標準差
[例] 甲、乙兩機床同時加工直徑為100 cm的零件,為檢驗質(zhì)量,從中抽取6件測量數(shù)據(jù)為:
甲:99 100 98 100 100 103
乙:99 100 102 99 100 100
(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差;
(2)根據(jù)計算說明哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.
[分析] (1)直接利用求x與s2的公式求解.
(2)先比較x的大小,再分析s2的大小并下結(jié)論.
[解] (1)甲=(99+100+98+100+100+103)=100,
乙=(99+100+102+99+100+100)=100,
s=[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=,s=[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.
(2)由(1)知甲=乙,比較它們的方差,
∵s>s,∴乙機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.
用樣本估計總體時,樣本的平均數(shù)、標準差只是總體的平均數(shù)、標準差的近似.實際應(yīng)用中,當所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不相等時,需先分析平均水平,再計算標準差(方差)分析穩(wěn)定情況.
[變式訓(xùn)練] 甲、乙、丙、丁四名射手在選拔賽中所得的平均環(huán)數(shù)及其方差s2如下表所示,則選送決賽的最佳人選應(yīng)是( B )
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甲
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乙
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丙
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丁
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7
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8
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8
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7
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s2
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6.3
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6.3
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7
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8.7
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A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
解析:∵乙=丙>甲=丁,且s=s<s<s,故應(yīng)選擇乙進入決賽.