第2課時(shí) 兩角和與差的正切
[課程目標(biāo)] 1.理解兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)．
2．掌握公式的正、逆向及變形運(yùn)用．
3．能夠靈活應(yīng)用和、差角公式進(jìn)行化簡、求值、證明．
[填一填]
1．兩角和與差的正切公式
tan(α＋β)＝，(Tα＋β)
tan(α－β)＝.(Tα－β)
2．公式的推導(dǎo)
tan(α＋β)＝＝，
把后面一個(gè)分式的分子、分母分別除以cosαcosβ(cosαcosβ≠0)得：tan(α＋β)＝.
以－β代替上式中β可得tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]＝＝.
[答一答]
1．運(yùn)用兩角和與差的正切公式時(shí)應(yīng)注意哪些問題，公式有哪些應(yīng)用？
提示：(1)公式Tα＋β成立的條件是：α≠kπ＋，β≠kπ＋，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．
(2)公式Tα－β成立的條件是：α≠kπ＋，β≠kπ＋，α－β≠kπ＋(k∈Z)，且在從左向右寫出等式時(shí)，角α，β的位置不要寫反．
應(yīng)用：由Tα＋β，Tα－β可知：(1)已知α，β的正切值可以求α＋β的正切值，實(shí)際上在公式中共有3個(gè)量：tan(α±β)，tanα，tanβ.因此知二求一．(2)利用公式可以進(jìn)行求值、化簡、證明三角恒等式．(3)特別地，當(dāng)α＝45°時(shí)，tan(45°±θ)＝.
2．兩角和與差的正切公式有哪些常見變形？
提示：對(duì)于公式tan(α＋β)＝而言，兩邊都是角的正切，因此，可以有以下一些變形：
(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；
(2)tanαtanβ＝1－；
(3)tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)；
(4)當(dāng)β＝時(shí)，tan(α＋β)＝tan＝.
對(duì)于公式tan(α－β)＝，也有類似的結(jié)論．
類型一 兩角和與差的正切公式的直接應(yīng)用
命題視角1：公式的正用
[例1] 已知sinα＝－，α是第四象限角，求tan，tan的值．
[分析] 已知sinα的值，求tan用兩角差的正切公式，而求tan則只能用誘導(dǎo)公式來做．
[解] 因?yàn)閟inα＝－，α是第四象限角，得
cosα＝＝＝，
tanα＝＝＝－.
于是有tan＝＝＝－7.
tan＝＝
＝＝＝.
