習題課 平行與垂直的綜合問題
關鍵能力·攻重難
題型探究
題型一 平行和垂直關系的證明
典例1 如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,AC,BD相交于點O,點E為PC的中點,OP=OC,PA⊥PD.
求證:(1)直線PA∥平面BDE.
(2)平面BDE⊥平面PCD.
[證明] (1)如圖,連接OE,因為O為平行四邊形ABCD對角線的交點,
所以O為AC的中點.
又E為PC的中點,所以OE∥PA.
因為OE⊂平面BDE,PA⊄平面BDE,
所以直線PA∥平面BDE.
(2)因為OE∥PA,PA⊥PD,
所以OE⊥PD.
因為OP=OC,E為PC的中點,
所以OE⊥PC.
又PD⊂平面PCD,PC⊂平面PCD,PC∩PD=P,
所以OE⊥平面PCD.
因為OE⊂平面BDE,
所以平面BDE⊥平面PCD.
[歸納提升] (1)在應用線面平行的判定定理進行平行轉化時,一定注意定理成立的條件,通常應嚴格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟,如:把線面平行轉化為線線平行時,必須說清經過已知直線的平面和已知平面相交,這時才有直線與交線平行.
(2)對于有關兩個平面垂直的證明,一般利用兩個平面垂直的判定定理:如果一個平面經過另一個平面的垂線,那么這兩個平面垂直,在應用定理解決問題時,經常采取“線線垂直”⇒“線面垂直”⇒“面面垂直”的轉化思想進行推理.
【對點練習】? 在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.
求證:(1)AB∥平面A1B1C;
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
[證明] (1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.
因為AB⊄平面A1B1C,
A1B1⊂平面A1B1C,
所以AB∥平面A1B1C.
(2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABB1A1為平行四邊形.
又因為AA1=AB,
所以四邊形ABB1A1為菱形,
因此AB1⊥A1B.
因為AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,
所以AB1⊥BC.
因為A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,
所以AB1⊥平面A1BC.
因為AB1⊂平面ABB1A1,
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.