第2課時(shí) 平面與平面垂直的性質(zhì)
素養(yǎng)目標(biāo)·定方向
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素養(yǎng)目標(biāo)
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學(xué)法指導(dǎo)
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1.掌握面面垂直的性質(zhì)定理.(直觀想象)
2.能利用面面垂直得到線面垂直.(邏輯推理)
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面面垂直的性質(zhì)定理中的條件“有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線”既為證明指明了方向,又有很強(qiáng)的約束性,因此使用定理時(shí),一定要注意定理的條件.
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必備知識(shí)·探新知
知識(shí)點(diǎn) 平面與平面垂直的性質(zhì)定理
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文字語言
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兩個(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的__交線__,那么這條直線與另一個(gè)平面__垂直__
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符號(hào)語言
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α⊥β,α∩β=l,__a⊂α__,__a⊥l__⇒a⊥β
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圖形語言
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[知識(shí)解讀] 對(duì)面面垂直的性質(zhì)定理的理解
(1)定理成立的條件有三個(gè):
①兩個(gè)平面互相垂直;
②直線在其中一個(gè)平面內(nèi);
③直線與兩平面的交線垂直.
(2)定理的實(shí)質(zhì)是由面面垂直得線面垂直,故可用來證明線面垂直.
(3)已知面面垂直時(shí),可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直,再轉(zhuǎn)化為線線垂直.
關(guān)鍵能力·攻重難
題型探究
題型一 平面與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用
典例1 如圖所示,P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn),ABCD是∠DAB=60°且邊長(zhǎng)為a的菱形.側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.G為AD邊的中點(diǎn).求證:
(1)BG⊥平面PAD;
(2)AD⊥PB.
[證明] (1)由題意知△PAD為正三角形,G是AD的中點(diǎn),∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG⊂平面PAD,
∴PG⊥平面ABCD,由BG⊂平面ABCD,∴PG⊥BG.
又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB=60°,
∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD.
又AD∩PG=G,AD,PG⊂平面PAD,∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G,BG,PG⊂平面PBG,所以AD⊥平面PBG,
又PB⊂平面PBG,所以AD⊥PB.
[歸納提升] 若所給題目中有面面垂直的條件,一般要利用面面垂直的性質(zhì)定理將其轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理,注意三點(diǎn):①兩個(gè)平面垂直是前提條件;②直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi);③直線必須垂直于它們的交線.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】? 如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點(diǎn)E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.