8.6 空間直線、平面的垂直
8.6.1 直線與直線垂直
素養(yǎng)目標·定方向
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素養(yǎng)目標
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學法指導
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1.掌握線線垂直的定義,了解常見線線垂直的形式.(數(shù)學抽象)
2.會求異面直線所成的角.(數(shù)學運算)
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對比平面中線線位置關系,利用基本模型認識異面直線間的垂直關系及其所成的角.
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必備知識·探新知
知識點1 異面直線所成的角
(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經過空間任一點O分別作直線a′∥a,b′∥b,我們把直線__a′__與__b′__所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).
(2)空間兩條直線所成角α的取值范圍:__0°≤α≤90°__.
知識點2 空間兩直線垂直
如果兩條異面直線所成的角是__直角__,那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b互相垂直,記作__a⊥b__.
[知識解讀] 對異面直線所成的角的認識理解的注意點
(1)任意性與無關性:在定義中,空間一點O是任取的,根據(jù)等角定理,可以斷定異面直線所成的角與a′,b′所成的銳角(或直角)相等,而與點O的位置無關.
(2)轉化求角:異面直線所成的角是刻畫兩條異面直線相對位置的一個重要的量,通過轉化為相交直線所成的角,將空間角轉化為平面角來計算.
(3)兩條直線垂直是指相交垂直或異面垂直.
關鍵能力·攻重難
題型探究
題型一 異面直線所成的角
典例1 如圖1,P是平面ABC外的一點,PA=4,BC=2,D,E分別為PC,AB的中點,且DE=3.則異面直線PA與BC所成的角的大小為__90°__.
[分析] →→
[解析] 如圖2,取AC的中點F,連接DF,EF,在△PAC中,∵D是PC的中點,F是AC的中點,∴DF∥PA.
同理可得EF∥BC.
∴∠DFE為異面直線PA與BC所成的角(或其補角).
在△DEF中,DE=3,又DF=PA=2,EF=BC=,
∴DE2=DF2+EF2,
∴∠DFE=90°,即異面直線PA與BC所成的角為90°.
[歸納提升] 求兩異面直線所成的角的三個步驟
(1)作:根據(jù)所成角的定義,用平移法作出異面直線所成的角;
(2)證:證明作出的角就是要求的角;
(3)計算:求角的值,常利用解三角形得出.
可用“一作二證三計算”來概括.同時注意異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°.
【對點練習】? 在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為( C )
A. B.
C. D.
[解析] 如圖,連接BD1交DB1于O,取AB的中點M,連接DM,OM.