1.3.2 球的體積和表面積
[目標(biāo)] 1.了解球的體積和表面積公式;2.會(huì)用球的體積和表面積公式解決實(shí)際問(wèn)題.
[重點(diǎn)] 球的體積公式和表面積公式及應(yīng)用.
[難點(diǎn)] 球的切、接問(wèn)題.
知識(shí)點(diǎn) 球的體積和表面積
[填一填]
1.球的體積
球的半徑為R,那么它的體積V=πR3.
2.球的表面積
球的半徑為R,那么它的表面積S=4πR2.
溫馨提示:與其他簡(jiǎn)單幾何體不同,球面不可展開(kāi).
[答一答]
1.觀察球的體積與表面積公式,思考下面的問(wèn)題.
(1)計(jì)算球的表面積與體積,關(guān)鍵需要確定哪個(gè)量?
(2)若兩球的半徑之比為R1R2,那么兩球的表面積之比及體積之比分別是多少?
提示:(1)要計(jì)算球的表面積和體積,關(guān)鍵是要確定球的半徑R.
(2)===()2,
===()3.
2.用一個(gè)平面去截球體,截面是什么平面圖形?試在球的軸截面圖形中,展示截面圖與球體之間的內(nèi)在聯(lián)系.
提示:可以想象,用一個(gè)平面去截球體,截面是圓面,在球的軸截面圖中,截面圓與球的軸截面的關(guān)系如下圖所示.若球的半徑為R,截面圓的半徑為r,OO′=d.在Rt△OO′C中,OC2=OO′2+O′C2,即R2=r2+d2.
類型一 球的體積與表面積的計(jì)算
[例1] (1)兩個(gè)球的體積之比為827,那么這兩個(gè)球的表面積之比為( )
A.23 B.49
C. D.
(2)兩個(gè)半徑為1的鐵球,熔化成一個(gè)球,則這個(gè)大球的半徑為________.
(3)
圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8 cm的水,若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒(méi)最上面的球(如圖所示),則球的半徑是________cm.
[解析] (1)兩個(gè)球的體積之比為827,根據(jù)體積比等于相似比的立方,表面積之比等于相似比的平方,可知兩球的半徑比為23,從而這兩個(gè)球的表面積之比為49,故選B.
(2)兩個(gè)小鐵球的體積為2×π×13=,即大鐵球的體積π×R3=,所以半徑為.
(3)設(shè)球的半徑為r,放入3個(gè)球后,圓柱液面高度變?yōu)?/span>6r.
則有πr2·6r=8πr2+3·πr3,
即2r=8,所以r=4 cm.
[答案] (1)B (2) (3)4