4.2 直線、圓的位置關(guān)系
4.2.1 直線與圓的位置關(guān)系
[目標(biāo)] 1.會用代數(shù)方法與幾何方法判斷直線與圓的位置關(guān)系;2.能解決直線與圓相切、相交的有關(guān)問題.
[重點] 直線與圓位置關(guān)系的判斷,直線與圓相切、相交問題的解答.
[難點] 直線與圓位置關(guān)系問題的解答.
知識點 直線與圓的位置關(guān)系
[填一填]
直線Ax+By+C=0和圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系及判斷
1.幾何法:
判定依據(jù):圓心到直線的距離與圓半徑進行大小比較.
判定結(jié)論:設(shè)圓心到直線的距離為d,圓半徑為r.
(1)若d>r,則直線與圓相離;
(2)若d=r,則直線與圓相切;
(3)若d<r,則直線與圓相交.
2.代數(shù)法:
判定依據(jù):將直線方程代入圓的方程,消元得關(guān)于x(或y)的一元二次方程的判別式Δ.
判定結(jié)論:
(1)若Δ>0,則直線與圓相交;
(2)若Δ=0,則直線與圓相切;
(3)若Δ<0,則直線與圓相離.
[答一答]
1.(1)“代數(shù)法”與“幾何法”判斷直線與圓的位置關(guān)系,各有什么優(yōu)勢?
(2)如何選擇判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法?
提示:(1)“代數(shù)法”與“幾何法”判斷直線與圓的位置關(guān)系是從不同的方面,不同的思路來判斷的,“代數(shù)法”側(cè)重于“數(shù)”,更多傾向于“坐標(biāo)”與“方程”;而“幾何法”則側(cè)重于“形”,結(jié)合了圖形的幾何性質(zhì);
(2)對于具體用哪種方法判斷直線與圓的位置關(guān)系,應(yīng)由條件而定,代數(shù)法是從方程角度考慮,但較為繁瑣;幾何法是從幾何角度考慮,方法簡單,成為判斷直線與圓位置關(guān)系的常用方法.
2.(1)直線3x+4y=5與圓x2+y2=16的位置關(guān)系是相交;
(2)過P(-2,0)向圓x2+y2=1引切線,則切線長是.
類型一 直線與圓位置關(guān)系的判斷
[例1] 已知圓的方程是x2+y2=1,直線y=x+b.當(dāng)b為何值時,
(1)圓與直線只有一個公共點;
(2)圓與直線有兩個公共點;
(3)圓與直線沒有公共點.
[分析] 可聯(lián)立方程組,由方程組解的個數(shù)求解,也可求出圓心到直線的距離,與半徑比較求解.
[解] 方法1:聯(lián)立直線和圓的方程組成方程組:整理可得2x2+2bx+b2-1=0,其中Δ=4(2-b2).
(1)當(dāng)Δ=0,即b=±時,直線和圓相切,此時直線和圓僅有一個公共點.
(2)當(dāng)Δ>0,即-<b<時,直線和圓相交,此時直線和圓有兩個公共點.
(3)當(dāng)Δ<0,即b<-或b>時,直線和圓相離,此時直線和圓沒有公共點.
方法2:圓x2+y2=1的圓心(0,0)到直線l:y=x+b的距離d=,圓的半徑為r=1.
(1)當(dāng)d==1,即b=±時,直線與圓相切,此時直線與圓有一個公共點;
(2)當(dāng)d=<1,即-<b<時,直線與圓相交,此時直線與圓有兩個公共點;
(3)當(dāng)d=>1,即b<-或b>時,直線與圓相離,此時直線與圓沒有公共點.