4.1.2 圓的一般方程
[目標(biāo)] 1.知道二元二次方程表示圓的條件，會(huì)根據(jù)圓的一般方程求圓的圓心坐標(biāo)和半徑；2.會(huì)根據(jù)所給條件求圓的一般方程；3.會(huì)解答簡(jiǎn)單的軌跡問(wèn)題．
[重點(diǎn)] 求圓的一般方程．
[難點(diǎn)] 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．
知識(shí)點(diǎn)一 圓的一般方程
[填一填]
二元二次方程：
對(duì)于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①
配方得到：(x＋)2＋(y＋)2＝；
(1)當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，方程表示以(－，－)為圓心，為半徑的圓；
(2)當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，方程表示點(diǎn)(－，－)．
(3)當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，方程不表示任何圖形．
當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一個(gè)圓，稱方程①為圓的一般方程．
[答一答]
1．形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圓嗎？
提示：不是，只有D2＋E2－4F>0時(shí)才表示圓．
2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程各有什么特點(diǎn)？二者怎樣互化？
提示：(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確地表達(dá)了圓的幾何要素，即圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)．
(2)圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)結(jié)構(gòu)形式，圓心和半徑長(zhǎng)需要代數(shù)運(yùn)算才能得出．
(3)二者可以互化：將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi)成二元二次方程的形式即得一般方程，將圓的一般方程配方即得標(biāo)準(zhǔn)方程．
3．已知P(x0，y0)，圓的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，如果x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0，那么點(diǎn)P一定在圓內(nèi)嗎？
提示：一定在圓內(nèi)．圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x＋)2＋(y＋)2＝，由上節(jié)標(biāo)準(zhǔn)方程知點(diǎn)P在圓內(nèi)⇔(x0＋)2＋(y0＋)2<⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0.
知識(shí)點(diǎn)二 動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程
[填一填]
在直角坐標(biāo)平面上，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)，所形成的曲線稱為這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡，曲線的方程稱為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．
求軌跡方程的一般步驟為：
(1)建系：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；
(2)設(shè)點(diǎn)：用(x，y)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，該點(diǎn)是軌跡(曲線)上任意一點(diǎn)；
(3)列式：列出關(guān)于x，y的方程；
(4)化簡(jiǎn)：化方程為最簡(jiǎn)形式；
(5)證明：證明以化簡(jiǎn)后方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．
說(shuō)明：因?yàn)槌齻(gè)別情況外，化簡(jiǎn)過(guò)程都是同解變形過(guò)程，所以步驟(5)可以省略不寫(xiě)，如果有特殊情況，可適當(dāng)予以說(shuō)明．
[答一答]
4．軌跡和軌跡方程等價(jià)嗎？二者的聯(lián)系是什么？
提示：(1)“軌跡”與“軌跡方程”有區(qū)別．“軌跡”是圖形，是指出形狀、位置、大小(范圍)等特征；“軌跡方程”是方程(等式)，不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍．
(2)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡往往先求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，然后由方程研究軌跡圖形；求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有時(shí)需要先由條件判斷軌跡圖形，再由圖形求方程．
類型一 圓的一般方程的概念
[例1] 下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求其圓心和半徑．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；
(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
[解] (1)∵D＝1，E＝0，F＝1，
∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0.
∴方程(1)不表示任何圖形．
(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，
∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0.
∴方程表示點(diǎn)(－a,0)．
