第四章 圓與方程
4.1 圓的方程
4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
[目標(biāo)] 1.明確圓的基本要素,能用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2.會求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,能夠判斷點與圓的位置關(guān)系.
[重點] 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
[難點] 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及應(yīng)用.
知識點一 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
[填一填]
1.圓的定義
(1)條件:平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合.
(2)結(jié)論:定點是圓心,定長是半徑.
2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)圓心為A(a,b),半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.
(2)圓心在原點,半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=r2.
[答一答]
1.若圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0),此圓的半徑一定是a嗎?圓心坐標(biāo)是(m,n)嗎?
提示:圓的半徑不一定是a,當(dāng)a>0時,半徑是a;當(dāng)a<0時,半徑是-a.圓心坐標(biāo)不是(m,n),應(yīng)是(-m,-n),因為(x+m)2+(y+n)2=a2化為標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)是[x-(-m)]2+[y-(-n)]2=|a|2.
2.判一判.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圓.( × )
(2)確定一個圓的幾何要素是圓心和半徑.( √ )
(3)圓(x+1)2+(y+2)2=4的圓心坐標(biāo)是(1,2),半徑是2.( × )
知識點二 點與圓的位置關(guān)系
[填一填]
設(shè)點P到圓心的距離為d,半徑為r,則點在圓內(nèi)⇔d<r;點在圓上⇔d=r;點在圓外⇔d>r.
[答一答]
3.判斷點和圓的位置關(guān)系的依據(jù)是什么?
提示:判斷點與圓的位置關(guān)系的依據(jù)是圓心到該點的距離和圓的半徑的大小關(guān)系.
4.點P(-2,-2)和圓x2+y2=4的位置關(guān)系是( B )
A.在圓上 B.在圓外
C.在圓內(nèi) D.以上都不對
類型一 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
[例1] 已知圓過兩點A(3,1),B(-1,3),且它的圓心在直線3x-y-2=0上,求此圓的方程.
[分析]
[解] 方法1:設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.由題意,得
即解得
故所求圓的方程是(x-2)2+(y-4)2=10.
方法2:由直線AB的斜率k==-,知線段AB的垂直平分線m的斜率為2,線段AB中點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為x==1,y==2,因此直線m的方程為y-2=2(x-1),即2x-y=0.
又圓心在直線3x-y-2=0上,所以圓心在這兩條直線的交點上.聯(lián)立得方程組解得
設(shè)圓心為C,所以圓心的坐標(biāo)為(2,4).
又半徑r=|CA|=,故所求圓的方程是(x-2)2+(y-4)2=10.
方法3:設(shè)圓心為C,因為圓心在直線3x-y-2=0上,故可設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a,3a-2).
又因為|CA|=|CB|,所以
=,