第6章 導數(shù)及其應用

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導數(shù)的幾何意義及其應用
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【例1】 (1)曲線y=xex-1在點(1,1)處切線的斜率等于( )
A.2e B.e C.2 D.1
(2)已知函數(shù)y=f(x)的圖像是下列四個圖像之一,且其導函數(shù)y=f′(x)的圖像如圖所示,則該函數(shù)的圖像是( )


(1)C (2)B [(1)y′=ex-1+xex-1=(x+1)ex-1,故曲線在點(1,1)處的切線斜率為k=2.
(2)從導函數(shù)的圖像可以看出,導函數(shù)值先增大后減小,x=0時最大,所以函數(shù)f(x)的圖像的變化率也先增大后減小,在x=0時變化率最大.A項,在x=0時變化率最小,故錯誤;C項,變化率是越來越大的,故錯誤;D項,變化率是越來越小的,故錯誤;B項正確.]

利用導數(shù)的幾何意義求切線方程時關鍵是搞清所給的點是不是切點,常見的類型有兩種,一是求“在某點處的切線方程”,則此點一定為切點,先求導,再求斜率代入直線方程即可得;另一類是求“過某點的切線方程”,這種類型中的點不一定是切點,可先設切點為Q(x1,y1),則切線方程為y-y1=f′(x1)(x-x1),再由切線過點P(x0,y0)得
y0-y1=f′(x1)(x0-x1), ①
又y1=f(x1), ②
由①②求出x1,y1的值,
即求出了過點P(x0,y0)的切線方程.
1.已知曲線y=x3+.
(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程;
(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程;
(3)求斜率為4的曲線的切線方程.
[解] (1)∵P(2,4)在曲線y=x3+上,且y′=x2,
∴在點P(2,4)處的切線的斜率k=4.
∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
(2)設曲線y=x3+與過點P(2,4)的切線相切于點A,則切線的斜率k=x.
∴切線方程為y-=x(x-x0),
即y=x·x-x+.
∵點P(2,4)在切線上,
∴4=2x-x+,
即x-3x+4=0,
∴x+x-4x+4=0.
∴x(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,
解得x0=-1或x0=2,故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.