6.3 利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.了解導(dǎo)數(shù)在解決利潤(rùn)最大、效率最高、用料最省等實(shí)際問(wèn)題中的作用.(重點(diǎn))
2.能利用導(dǎo)數(shù)求出某些實(shí)際問(wèn)題的最大值(最小值).(難點(diǎn)、易混點(diǎn))
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1.通過(guò)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用的學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
2.通過(guò)解決利潤(rùn)最大、效率最高、用料最省等實(shí)際問(wèn)題,提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
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“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之變,生物之謎,日用之繁,無(wú)處不用數(shù)學(xué).”著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾如此精辟地論述了數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系.導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)工具是如何在生活中應(yīng)用的呢?

用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化問(wèn)題的基本思路


1.思考辨析(正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)
(1)在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中,怎樣使經(jīng)營(yíng)成本最小的問(wèn)題屬于最優(yōu)化問(wèn)題. ( )
(2)解決應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型. ( )
(3)生活中常見(jiàn)的收益最高,用料最省的問(wèn)題就是數(shù)學(xué)中的最大、最小值問(wèn)題. ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2.煉油廠某分廠將原油精煉為汽油,需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱,如果第x小時(shí)時(shí),原油溫度(單位:℃)為f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是( )
A.8 B. C.-1 D.-8
C [原油溫度的瞬時(shí)變化率為f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5),所以當(dāng)x=1時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率取得最小值-1.]
3.做一個(gè)容積為256 m3的方底無(wú)蓋水箱,所用材料最省時(shí),它的高為( )
A.6 m B.8 m C.4 m D.2 m
C [設(shè)底面邊長(zhǎng)為x m,高為h m,則有x2h=256,所以h=.所用材料的面積設(shè)為S m2,則有S=4x·h+x2=4x·+x2=+x2.S′=2x-,
令S′=0,得x=8,
因此h==4(m).]
4.某一件商品的成本為30元,在某段時(shí)間內(nèi),若以每件x元出售,可賣出(200-x)件,當(dāng)每件商品的定價(jià)為______元時(shí),利潤(rùn)最大.
115 [利潤(rùn)為S(x)=(x-30)(200-x)
=-x2+230x-6 000,
S′(x)=-2x+230,
由S′(x)=0,得x=115,這時(shí)利潤(rùn)達(dá)到最大.]