第2課時 函數(shù)最值的求法
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學(xué) 習(xí) 目 標
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核 心 素 養(yǎng)
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1.理解極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系.(易混點)
2.會求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.(重點)
3.能利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)最值相關(guān)的綜合問題.(難點)
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1.通過學(xué)習(xí)函數(shù)的最值概念,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).
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如圖,在閉區(qū)間[a,b]上的函數(shù)y=f(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,則它必有最大值和最小值.

問題1:f(x)的最大值和最小值分別是多少?
問題2:你能指出最值與極值的關(guān)系嗎?

函數(shù)的最值
(1)一般地,如果函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的每一點都可導(dǎo),且函數(shù)存在最值,則函數(shù)的最值點一定是某個極值點;
(2)如果函數(shù)y=f(x)的定義域為[a,b]且存在最值,函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么函數(shù)的最值點要么是區(qū)間端點a或b,要么是極值點.
拓展:求函數(shù)的最值時,應(yīng)注意以下幾點:
(1)函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題,是一個局部概念,而函數(shù)的最值是對整個定義域而言,是在整體范圍內(nèi)討論問題,是一個整體性的概念.
(2)閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)一定有最值.開區(qū)間(a,b)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值,但若有唯一的極值,則此極值必是函數(shù)的最值.
(3)函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個,而函數(shù)的極值則可能不止一個,也可能沒有極值,并且極大值(極小值)不一定就是最大值(最小值).

1.思考辨析(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)
(1)函數(shù)的最大值一定是函數(shù)的極大值. ( )
(2)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值. ( )
(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值一定在兩個端點處取得.
( )
(4)若函數(shù)在給定閉區(qū)間上有最值,則有且僅有一個最大值,一個最小值,
但若有極值,則可有多個極值. ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2.函數(shù)f(x)=2x-cos x在(-∞,+∞)上( )
A.無最值 B.有極值
C.有最大值 D.有最小值
A [f′(x)=2+sin x>0恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,無極值,也無最值.]
3.函數(shù)f(x)=在區(qū)間[2,4]上的最小值為( )
A.0 B. C. D.
C [f′(x)==,當x∈[2,4]時,f′(x)<0,即函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,4]上是單調(diào)遞減函數(shù),故當x=4時,函數(shù)f(x)有最小值.]
4.已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+m(x∈[-2,2]),f(x)的最小值為1,則m=________.
1 [f′(x)=-3x2+6x,x∈[-2,2].
令f′(x)=0,得x=0,或x=2,
當x∈(-2,0)時,f′(x)<0,
當x∈(0,2)時,f′(x)>0,
∴當x=0時,f(x)有極小值,也是最小值.
∴f(0)=m=1.]