6．2.2 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值
第1課時(shí) 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.理解極值、極值點(diǎn)的概念，明確極值存在的條件．(易混點(diǎn))
2．會(huì)求函數(shù)的極值．(重點(diǎn))
3．能利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)極值相關(guān)的綜合問題．(難點(diǎn))
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1.通過學(xué)習(xí)函數(shù)的極值、極值點(diǎn)等概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
2．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
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在群山之中，某個(gè)山峰的頂端可能不是群山的最高點(diǎn)，但它一定是其附近的最高點(diǎn)；某個(gè)山谷，可能不是群山的最低點(diǎn)，但它一定是附近的最低點(diǎn)．對(duì)于連續(xù)函數(shù)，有類似的性質(zhì)．
“極大”與“極小”都是文藝復(fù)興時(shí)期德意志庫(kù)薩的尼古拉用語(yǔ)．他認(rèn)為一個(gè)事物，如果沒有比它更大的事物存在，就叫做最大或極大．他還認(rèn)為上帝是無限的極大，宇宙是相對(duì)的極大，而宇宙中的萬物是極。
1．函數(shù)的極值
一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)?/span>D，設(shè)x0∈D，如果對(duì)于x0附近的任意不同于x0的x，都有
(1)f(x)<f(x0)，則稱x0為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)，且f(x)在x0處取極大值；
(2)f(x)>f(x0)，則稱x0為函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)，且f(x)在x0處取極小值．
極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)都稱為極值點(diǎn)，極大值與極小值都稱為極值．顯然，極大值點(diǎn)在其附近函數(shù)值最大，極小值點(diǎn)在其附近函數(shù)值最小．
思考1：極大值一定比極小值大嗎？
[提示] 不一定．極值是一個(gè)局部性概念，是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近的函數(shù)值比較是最大的或最小的，故極大值與極小值之間無法確定大小關(guān)系．
2．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值
一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且f′(x0)＝0.
(1)如果對(duì)于x0左側(cè)附近的任意x，都有f′(x)>0，對(duì)于x0右側(cè)附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此時(shí)x0是f(x)的極大值點(diǎn)．
(2)如果對(duì)于x0左側(cè)附近的任意x，都有f′(x)<0，對(duì)于x0右側(cè)附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此時(shí)x0是f(x)的極小值點(diǎn)．
(3)如果f′(x)在x0的左側(cè)附近與右側(cè)附近均為正號(hào)(或均為負(fù)號(hào))，則x0一定不是y＝f(x)的極值點(diǎn)．
思考2：“f′(x0)＝0”是“x0是y＝f(x)的極值點(diǎn)”的什么條件？
[提示] “f′(x0)＝0”是“x0是y＝f(x)的極值點(diǎn)”的必要不充分條件．如f(x)＝x3，由f′(x)＝0得x＝0，但0不是f(x)＝x3的極值點(diǎn)．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)． ( )
(2)極大值一定比極小值大． ( )
(3)函數(shù)f(x)＝有極值． ( )
(4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是其導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>R，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)f(x)( )
A．無極大值點(diǎn)，有四個(gè)極小值點(diǎn)
B．有三個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)
C．有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)
D．有四個(gè)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)
C [設(shè)y＝f′(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)從左到右橫坐標(biāo)依次為x1，x2，x3，x4，則f(x)在x＝x1，x＝x3處取得極大值，在x＝x2，x＝x4處取得極小值．]
3．函數(shù)f(x)＝－的極值點(diǎn)為( )
A．0 B．－1
C．0或1 D．1
D [∵f′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝1.
又當(dāng)x＞1時(shí)f′(x)＞0，
0＜x＜1時(shí)f′(x)＜0，
又x＜0時(shí)f′(x)＜0，
∴1是f(x)的極小值點(diǎn)，
x＝0不是函數(shù)的極值點(diǎn)．]
