6.2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)
6．2.1 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系．(易混點(diǎn))
2．掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．(重點(diǎn))
3．會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(重點(diǎn)、難點(diǎn))
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1.通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性法則的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
2．借助判斷函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
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圖(1)表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的圖像，圖(2)表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度v隨時(shí)間t變化的函數(shù)v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的圖像．
問(wèn)題：運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？
(1) (2)
導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系
(1)如果在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(x)>0，則曲線(xiàn)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)對(duì)應(yīng)的那一段上每一點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率都大于0，曲線(xiàn)呈上升狀態(tài)，因此f(x)在(a，b)上是增函數(shù)，如圖(1)所示；
(2)如果在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(x)<0，則曲線(xiàn)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)對(duì)應(yīng)的那一段上每一點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率都小于0，曲線(xiàn)呈下降狀態(tài)，因此f(x)在(a，b)上是減函數(shù)，如圖(2)所示．
(1) (2)
思考1：如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，那么函數(shù)f(x)有什么特性？
[提示] f(x)是常函數(shù)．
思考2：在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上為單調(diào)增函數(shù)的什么條件？
[提示] 充分不必要條件，如f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，但f′(x)＝3x2≥0.
1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)
(1)函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)>0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增．
( )
(2)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)越大，函數(shù)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)越“陡峭”． ( )
(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上變化越快，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2.函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，則( )
A．f′(3)>0
B．f′(3)<0
C．f′(3)＝0
D．f′(3)的正負(fù)不確定
B [由圖像可知，函數(shù)f(x)在(1,5)上單調(diào)遞減，則在(1,5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0.]
3．已知函數(shù)f(x)＝x2－x，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．
(1，＋∞) [∵f′(x)＝x－1，令f′(x)>0，解得x>1，
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)．]
