6.1.4 求導(dǎo)法則及其應(yīng)用
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,并能運(yùn)用這些公式求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(重點(diǎn))
2.掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,并能運(yùn)用法則求復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(難點(diǎn))
3.掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,會(huì)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(易混點(diǎn))
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1.通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
2.借助復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的學(xué)習(xí),提升邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
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如何求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=x;
(2)y=2x2+sin x.
問題:由此你能類比聯(lián)想一下[f(x)+g(x)]′的求導(dǎo)法則嗎?

1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
(1)和差的導(dǎo)數(shù)
[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x).
(2)積的導(dǎo)數(shù)
①[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
②[Cf(x)]′=Cf′(x).
(3)商的導(dǎo)數(shù)
′=,g(x)≠0.
拓展:①[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′=f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x).
②[af(x)+bg(x)]′=af′(x)+bg′(x)(a,b為常數(shù)).
2.復(fù)合函數(shù)的概念及求導(dǎo)法則
(1)復(fù)合函數(shù)的概念
一般地,已知函數(shù)y=f(u)與u=g(x),給定x的任意一個(gè)值,就能確定u的值.如果此時(shí)還能確定y的值,則y可以看成x的函數(shù),此時(shí)稱f(g(x))有意義,且稱y=h(x)=f(g(x))為函數(shù)f(u)與g(x)的復(fù)合函數(shù),其中u稱為中間變量.
(2)一般地,如果函數(shù)y=f(u)與u=g(x)的復(fù)合函數(shù)為y=h(x)=f(g(x)),則可以證明,復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)h′(x)與f′(u),g′(x)之間的關(guān)系為h′(x)=[f(g(x))]′=f′(u)g′(x)=f′(g(x))g′(x).
這一結(jié)論也可以表示為y′x=y′uu′x.
思考:函數(shù)y=log2(x+1)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的?
[提示] 函數(shù)y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成.

1.思考辨析(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)函數(shù)f(x)=是復(fù)合函數(shù). ( )
(2)函數(shù)f(x)=sin(-x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=cos(-x). ( )
(3)y=e2x的導(dǎo)數(shù)y′=2e2x. ( )
(4)[f(x)g(x)h(x)]′=f′(x)g′(x)h′(x). ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.函數(shù)f(x)=xex的導(dǎo)數(shù)f′(x)=( )
A.ex(x+1) B.1+ex
C.x(1+ex) D.ex(x-1)
A [f′(x)=x′ex+x(ex)′=ex+xex=ex(x+1),選A.]
3.若函數(shù)f(x)=ax2+c,且f′(1)=2,則a=________.
1 [∵f(x)=ax2+c,
∴f′(x)=2ax,故f′(1)=2a=2,∴a=1.]
4.若y=,則y′=________.
[∵y=ln x,
∴y′=·=.]