6.1.2 導(dǎo)數(shù)及其幾何意義
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.理解瞬時(shí)變化率、導(dǎo)數(shù)的概念.(重點(diǎn)、難點(diǎn))
2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.(重點(diǎn)、難點(diǎn))
3.會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義求曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程.(易混點(diǎn))
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1.借助瞬時(shí)變化率的學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).
2.通過(guò)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,提升直觀(guān)想象的素養(yǎng).
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將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱.如果在第x h時(shí),原油的溫度(單位:℃)為y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).你能計(jì)算出第2 h與第6 h時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率,并說(shuō)明它們的意義嗎?

1.瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)
(1)瞬時(shí)變化率:
一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0附近有定義,自變量在x=x0處的改變量為Δx,當(dāng)Δx無(wú)限接近于0時(shí),若平均變化率=無(wú)限接近于一個(gè)常數(shù)k,那么稱(chēng)常數(shù)k為函數(shù)f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率.簡(jiǎn)記為:當(dāng)Δx→0時(shí),→k或=k.
(2)導(dǎo)數(shù)
①f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)記作f′(x0);
②f′(x0)= .
拓展:導(dǎo)數(shù)定義的理解
(1)函數(shù)應(yīng)在x0處的附近有定義,否則導(dǎo)數(shù)不存在.
(2)在極限式中,Δx趨近于0且Δx是自變量x在x0處的改變量,所以Δx可正、可負(fù),但不能為0.當(dāng)Δx>0(或Δx<0)時(shí),Δx→0表示x0+Δx從右邊(或從左邊)趨近于x0.
(3)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是在該點(diǎn)附近的函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比的極限,它是個(gè)常數(shù),不是變量.
2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義
(1)割線(xiàn)的斜率
已知y=f(x)圖像上兩點(diǎn)A(x0,f(x0)),B(x0+Δx,f(x0+Δx)),過(guò)A,B兩點(diǎn)割線(xiàn)的斜率是=,即曲線(xiàn)割線(xiàn)的斜率就是函數(shù)的平均變化率.
(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義
曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義為曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線(xiàn)的斜率.
(3)曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程
曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線(xiàn)方程是y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).

1.思考辨析(正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)
(1)函數(shù)y=f(x)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)變量. ( )
(2)瞬時(shí)變化率是刻畫(huà)某函數(shù)在區(qū)間[x1,x2]上函數(shù)值變化快慢的物理量.
( )
(3)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切,則直線(xiàn)與已知曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn). ( )
(4)若函數(shù)y=f(x)在某點(diǎn)處可導(dǎo),則在該點(diǎn)處一定有切線(xiàn),反之也成立.
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2.如果一個(gè)函數(shù)的瞬時(shí)變化率處處為0,那么這個(gè)函數(shù)的圖像是( )
A.圓 B.拋物線(xiàn)
C.橢圓 D.直線(xiàn)
D [結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,該函數(shù)的圖像是平行或重合于x軸的直線(xiàn),故選D.]
3.已知曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程為2x-y+2=0,則f′(1)=________.
2 [由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知f′(1)=2.]
4.質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為S=4t2,則質(zhì)點(diǎn)M在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度為________.
8 [ΔS=S(1+Δt)-S(1)=4(1+Δt)2-4=4(Δt)2+8(Δt),
∴=4(Δt)+8.
∴ =8.]