6.1 導(dǎo)數(shù)
6.1.1 函數(shù)的平均變化率
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.理解函數(shù)平均變化率的概念.(重點(diǎn))
2.會(huì)求函數(shù)的平均變化率.(難點(diǎn)、易混點(diǎn))
3.會(huì)利用平均變化率解決或說(shuō)明生活中的一些實(shí)際問(wèn)題.(難點(diǎn))
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1.通過(guò)函數(shù)平均變化率的學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
2.借助函數(shù)平均變化率的計(jì)算,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
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某人走路的第1秒和第45秒的位移如圖所示:

問(wèn)題1:從A到B的位移是多少?從B到C的位移是多少?
問(wèn)題2:AB段與BC段哪一段的速度較快?

1.函數(shù)的平均變化率
一般地,若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?/span>D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),則
(1)自變量的改變量Δx=x2-x1;
(2)因變量的改變量Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1));

思考:在平均變化率中,Δx,Δy,是否可以為0?當(dāng)平均變化率為0時(shí),是否說(shuō)明函數(shù)在該區(qū)間上一定為常函數(shù)?
[提示] 在平均變化率中,Δx可正可負(fù)但Δx不可以為0;Δy可以為0;可以為0.
當(dāng)=0時(shí),并不能說(shuō)明函數(shù)在該區(qū)間上一定為常函數(shù),如f(x)=x2在區(qū)間[-2,2]上的平均變化率是0,但它不是常函數(shù).
拓展:函數(shù)平均變化率的幾何意義
如圖所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率,就是直線(xiàn)AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),事實(shí)上kAB==.

2.平均速度與平均變化率
如果物體運(yùn)動(dòng)的位移x m與時(shí)間t s的關(guān)系為x=h(t),則物體在[t1,t2](t1<t2時(shí))或[t2,t1](t2<t1時(shí))這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為 (m/s).
即物體在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度等于x=h(t)在該段時(shí)間內(nèi)的平均變化率.

1.思考辨析(正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)
(1)Δx表示x2-x1,是相對(duì)于x1的一個(gè)增量,Δx的值可正可負(fù),但不可為零. ( )
(2)Δy表示f(x2)-f(x1),Δy的值可正可負(fù),也可以為零. ( )
(3)表示曲線(xiàn)y=f(x)上兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))連線(xiàn)的斜率. ( )
(4)物體在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度為0,則物體始終處于靜止?fàn)顟B(tài). ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.如圖,函數(shù)y=f(x)在[1,3]上的平均變化率為( )

A.1 B.-1
C.2 D.-2
B [==-1.]