數(shù)列

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求數(shù)列的通項(xiàng)公式
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【例1】 已知數(shù)列{an}中,an>0,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且an+=2Sn,求an.
[解] 將an+=2Sn變形為a+1=2Snan.
將an=Sn-Sn-1(n≥2)代入并化簡(jiǎn),得S-S=1.
由已知可求得S1=a1=1.
∴數(shù)列{S}是等差數(shù)列,公差為1,首項(xiàng)為1.
∴S=1+(n-1)·1=n.
∵an>0,∴Sn>0.
∴Sn=.
∴n≥2時(shí),an=-.
而n=1時(shí),a1=1也適合上式.
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-,n∈N+.

1.定義法
直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法,這種方法適用于已知數(shù)列類(lèi)型的題目.
2.已知Sn求an
若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an可用公式an=求解.
3.由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)法
(1)已知形如“an+1=can+d”的遞推公式,一般利用待定系數(shù)法把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求an.
(2)已知形如“an+1=pan+pn+1·q”的遞推公式,一般轉(zhuǎn)化為=+q,利用
為等差數(shù)列求an.
(3)已知形如“an+1=an+f(n)”的遞推公式,可考慮疊加法求an.
(4)已知形如“an+1=f(n)·an”的遞推公式,則可考慮累乘法求an.
1.已知數(shù)列{an}中,a1=1,且an+1-an=3n-n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
[解] 由an+1-an=3n-n,
得an-an-1=3n-1-(n-1),
an-1-an-2=3n-2-(n-2),
…
a3-a2=32-2,
a2-a1=3-1.
當(dāng)n≥2時(shí),以上n-1個(gè)等式兩邊分別相加,得
(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)
=3n-1+3n-2+…+3-[(n-1)+(n-2)+…+1],
即an-a1=-.
又∵a1=1,
∴an=×3n--.
顯然a1=1也適合上式,
∴{an}的通項(xiàng)公式為an=×3n--.