5.5 數(shù)學(xué)歸納法
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.(重點(diǎn)、易混點(diǎn))
2.掌握數(shù)學(xué)歸納法的步驟.(難點(diǎn))
3.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.(難點(diǎn))
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1.通過數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng).
2.通過利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
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一列排好的多米諾骨牌,如果推倒第一張,而且后續(xù)的每一張倒下時(shí),能夠?qū)е孪乱粡堃驳瓜拢瑒t所有的骨牌都能倒下.
問題:保證每張骨牌倒下的原因有哪些?由此如何理解數(shù)學(xué)歸納法的原理.

數(shù)學(xué)歸納法的定義
一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題,如果
(1)當(dāng)n=n0時(shí),命題成立;
(2)在假設(shè)n=k(其中k≥n0)時(shí)命題成立的前提下,能夠推出n=k+1時(shí)命題也成立.
那么,這個(gè)命題對大于等于n0的所有自然數(shù)都成立.
思考:數(shù)學(xué)歸納法的初始值n0一定是取1嗎?
[提示] 不一定.n0的取值視具體情況而定.
拓展:數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟的聯(lián)系:
第一步是驗(yàn)證命題遞推的基礎(chǔ),第二步是論證命題遞推的依據(jù),這兩個(gè)步驟缺一不可,只完成第一步而缺少第二步就作出判斷,可能得出不正確的結(jié)論.因?yàn)閱慰康谝徊,無法遞推下去,即n取n0以后的數(shù)時(shí)命題是否正確,我們無法判定,同樣只有第二步而缺少第一步時(shí),也可能得出不正確的結(jié)論,缺少第一步這個(gè)基礎(chǔ),假設(shè)就失去了成立的前提,第二步也就沒有意義了.

1.思考辨析(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法. ( )
(2)數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值一定為1. ( )
(3)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸多邊形的對角線為n(n-3)條時(shí),第一步檢驗(yàn)n等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C [三角形是邊數(shù)最少的多邊形,故第一步應(yīng)檢驗(yàn)n=3.]
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明:首項(xiàng)是a1,公差是d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn=na1+d時(shí),假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),公式成立,則Sk=( )
A.a1+(k-1)d B.
C.ka1+d D.(k+1)a1+d
C [假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),公式成立,只需把公式中的n換成k即可,即Sk=ka1+d.]
4.用數(shù)學(xué)歸納法證明++…+>-,假設(shè)n=k時(shí),不等式成立,則當(dāng)n=k+1時(shí),應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是_____.
[答案] ++…++>-.
5.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+(n+3)=時(shí),第一步驗(yàn)證n=1時(shí),左邊應(yīng)取的項(xiàng)是________.
1+2+3+4 [當(dāng)n=1時(shí),左邊=1+2+3+4.]