第2課時(shí) 等比數(shù)列的性質(zhì)
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.理解等比中項(xiàng)的概念．(易錯(cuò)點(diǎn))
2.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用．(重點(diǎn))
3.熟練掌握等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用．(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))
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1.通過(guò)等比數(shù)列性質(zhì)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng).
2.通過(guò)等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
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在等差數(shù)列{an}中，通項(xiàng)公式可推廣為an＝am＋(n－m)d，并且若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特別地，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.
問(wèn)題：在等比數(shù)列中有無(wú)類(lèi)似的性質(zhì)？
1．等比中項(xiàng)
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定義
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如果x，G，y是等比數(shù)列，那么稱(chēng)G為x與y的等比中項(xiàng)
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關(guān)系式
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G2＝xy
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結(jié)論
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在等比數(shù)列中，中間每一項(xiàng)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)
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思考：G是x與y的等比中項(xiàng)的充要條件為G2＝xy嗎？
[提示] 不是．若G是x與y的等比中項(xiàng)，則G2＝xy，反之不成立．
2．等比數(shù)列的性質(zhì)
在等比數(shù)列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，則as·at＝ap·aq.
(1)特別地，當(dāng)2s＝p＋q(s，p，q∈N＋)時(shí)，ap·aq＝a.
(2)對(duì)有窮等比數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
拓展：(1)“子數(shù)列”性質(zhì)
對(duì)于無(wú)窮等比數(shù)列{an}，若將其前k項(xiàng)去掉，剩余各項(xiàng)仍為等比數(shù)列，首項(xiàng)為ak＋1，公比為q；若取出所有的k的倍數(shù)項(xiàng)，組成的數(shù)列仍為等比數(shù)列，首項(xiàng)為ak，公比為qk.
(2)兩個(gè)等比數(shù)列合成數(shù)列的性質(zhì)
若數(shù)列{an}，{bn}均為等比數(shù)列，c為不等于0的常數(shù)，則數(shù)列{can}，{an·bn}，也為等比數(shù)列．
1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)
(1)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等比中項(xiàng)． ( )
(2)在等比數(shù)列{an}中，a2·a8＝a10. ( )
(3)若{an}，{bn}都是等比數(shù)列，則{an＋bn}是等比數(shù)列． ( )
(4)若數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，且公比相同，則{an}是等比數(shù)列． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．已知等比數(shù)列{an}，a1＝1，a3＝，則a5等于( )
A．± B．－ C. D．±
C [在等比數(shù)列中，a＝a1·a5，所以a5＝＝.]
3．(教材P34練習(xí)AT3改編)等比數(shù)列{an}中，a4＝4，則a2·a6等于( )
A．4 B．8 C．16 D．32
C [∵{an}是等比數(shù)列，
∴a2·a6＝a＝16.]
4．在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12＝5，則a8a9a10a11＝________.
25 [∵{an}是等比數(shù)列，
∴a8·a11＝a9·a10＝a7·a12，
∴a8a9a10a11＝(a9a10)2＝(a7a12)2＝52＝25.]
