5.3 等比數(shù)列
5.3.1 等比數(shù)列
第1課時(shí) 等比數(shù)列的定義
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.理解等比數(shù)列的定義.(重點(diǎn))
2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用.(重點(diǎn)、難點(diǎn))
3.熟練掌握等比數(shù)列的判定方法.(易錯(cuò)點(diǎn))
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1.通過等比數(shù)列概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).
2.借助等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用的學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).
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有人說過:你如果能將一張紙對折42次,我就能順著它在今天晚上爬上月球.(假設(shè)紙的厚度為0.1 mm)
這個(gè)實(shí)例所包含的數(shù)學(xué)問題,用數(shù)字反應(yīng)如下:
1,2,4,8,16,32,64,128,…
問題:該組數(shù)字的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)存在怎樣的等量關(guān)系?是什么數(shù)列?

1.等比數(shù)列的概念
一般地,如果數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比都等于同一個(gè)常數(shù)q,即=q恒成立,則稱數(shù)列{an}為等比數(shù)列,其中q稱為等比數(shù)列的公比.
思考1:在等比數(shù)列{an}中,某一項(xiàng)可以為0嗎?
[提示] 一定不能為0.
拓展:對等比數(shù)列的定義的理解
(1)“從第2項(xiàng)起”有兩層含義,第一層是第一項(xiàng)沒有“前一項(xiàng)”,第二層是包含第一項(xiàng)后的所有項(xiàng).
(2)“每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比”意思也有兩層,第一層指相鄰的兩項(xiàng)之間,第二層指后項(xiàng)與前項(xiàng)的比.
2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其推廣
若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,則其通項(xiàng)公式an=a1qn-1,該式可推廣為an=amqn-m,其中n,m∈N*.
思考2:等比數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1qn-1是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)嗎?
[提示] 不一定.如當(dāng)q=1時(shí),an是關(guān)于n的常數(shù)函數(shù).
3.等比數(shù)列的單調(diào)性
等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q.
(1)當(dāng)q>1,a1>0或0<q<1,a1<0時(shí),數(shù)列為遞增數(shù)列;
(2)當(dāng)q>1,a1<0或0<q<1,a1>0時(shí),數(shù)列為遞減數(shù)列;
(3)當(dāng)q=1時(shí),數(shù)列為常數(shù)列;
(4)當(dāng)q<0時(shí),數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列.

1.思考辨析(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)若an+1=qan,n∈N*且q≠0,則{an}是等比數(shù)列. ( )
(2)等比數(shù)列{an}中,an=a1qn,n∈N*. ( )
(3)常數(shù)列一定是等比數(shù)列. ( )
(4)存在一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2.已知{an}是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列,則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為( )
A.an=2·3n+1 B.an=3·2n+1
C.an=2·3n-1 D.an=3·2n-1
C [由已知可得a1=2,q=3,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1·qn-1=2·3n-1.]
3.下列數(shù)列為等比數(shù)列的是( )
A.2,22,3×22,…
B.,,,…
C.S-1,(S-1)2,(S-1)3,…
D.0,0,0,…
B [結(jié)合等比數(shù)列的定義可知選項(xiàng)B正確.]
4.已知{an}是等比數(shù)列,a2=2,a5=,則公比q=________.
[法一:∵a2=a1q=2, ①
a5=a1q4=, ②
∴②÷①得:q3=,∴q=.
法二:∵a5=a2q3,∴q3=⇒q=.]