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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.理解等差中項(xiàng)的概念．(重點(diǎn))
2．掌握等差數(shù)列中兩項(xiàng)及多項(xiàng)之間的關(guān)系．(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))
3．能靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決問題．(難點(diǎn))
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1.借助等差數(shù)列中項(xiàng)的學(xué)習(xí)，提升數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)．
2．通過等差數(shù)列性質(zhì)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).
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高斯怎么計(jì)算1＋2＋3＋…＋100這道題目的？推廣到一般的等差數(shù)列，你有什么猜想？
1．等差中項(xiàng)
如果x，A，y是等差數(shù)列，那么稱A為x與y的等差中項(xiàng)，且A＝.
在一個(gè)等差數(shù)列中，中間的每一項(xiàng)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)．
思考1：在等差數(shù)列中，任意兩項(xiàng)都有等差中項(xiàng)嗎？
[提示] 是．
2．等差數(shù)列的性質(zhì)
{an}是公差為d的等差數(shù)列，若正整數(shù)s，t，p，q滿足s＋t＝p＋q，則as＋at＝ap＋aq.
①特別地，當(dāng)p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)時(shí)，ap＋aq＝2as.
②對有窮等差數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
思考2：在等差數(shù)列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)成立嗎？2an＝an＋k＋an－k(n>k>0)是否成立？
[提示] 令s＝t＝n，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；令s＝t＝n，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立．
拓展：(1)從等差數(shù)列中，每隔一定的距離抽取一項(xiàng)，組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列．
(2)若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則
①{c＋an}(c為任一常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列；
②{can}(c為任一常數(shù))是公差為cd的等差數(shù)列；
③{an＋an＋k}(k為常數(shù)，k∈N＋)是公差為2d的等差數(shù)列．
(3)若{an}，{bn}分別是公差為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列{pan＋qbn}(p，q是常數(shù))是公差為pd1＋qd2的等差數(shù)列．
(4){an}的公差為d，則d>0⇔{an}為遞增數(shù)列；
d<0⇔{an}為遞減數(shù)列；d＝0⇔{an}為常數(shù)列．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)等差數(shù)列{an}中，必有a10＝a1＋a9. ( )
(2)若數(shù)列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6，…都是公差為d的等差數(shù)列，則a1，a2，a3，a4，…是等差數(shù)列． ( )
(3)若{an}是等差數(shù)列，則{|an|}也是等差數(shù)列． ( )
(4)若{an}是等差數(shù)列，則對任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．在等差數(shù)列{an}中，若a3＝5，a5＝7，則a7＝( )
A．－1 B．9 C．1 D．6
B [由題意可知a3＋a7＝2a5，∴a7＝2a5－a3＝14－5＝9，故選B.]
3．在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則a2＋a10＝( )
A．12 B．16 C．20 D．24
B [在等差數(shù)列中，由性質(zhì)可得a2＋a10＝a4＋a8＝16.]
4．17＋，13－的等差中項(xiàng)為________．
15 [設(shè)A為其等差中項(xiàng)，則A＝＝＝15.]
