4.4 數(shù)學(xué)探究活動(dòng):了解高考選考科目的確定是否與性別有關(guān)(略)

[鞏固層·知識(shí)整合]

[提升層·題型探究]
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條件概率、乘法公式及全概率公式
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【例1】 設(shè)某批產(chǎn)品中, 甲、 乙、 丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%, 35%, 20%, 各廠的產(chǎn)品的次品率分別為4%, 2%, 5%, 現(xiàn)從中任取一件.
(1)求取到的是次品的概率;
(2)經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為次品, 求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率.
[解] 記事件A1:“該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的”, 事件A2: “該產(chǎn)品為乙廠生產(chǎn)的”, 事件A3:“該產(chǎn)品為丙廠生產(chǎn)的”, 事件B:“該產(chǎn)品是次品”. 由題設(shè), 知
P(A1)=45%,P(A2)=35%,P(A3)=20%,P(B|A1)=4%,P(B|A2)=2%,P(B|A3)=5%.
(1)由全概率公式得P(B)=3i=1P(Ai)P(B|Ai)=3.5%.
(2)由貝葉斯公式得P(A1|B)==.

無論條件概率公式P(A|B)=,乘法公式P(AB)=P(B)P(A|B),還是貝葉斯公式P(A|B)==都反映了P(A),P(B|A),P(AB)三者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,靈活應(yīng)用即可.

1.外形相同的球分裝在三個(gè)盒子中,每盒10個(gè).其中,第一個(gè)盒子中有7個(gè)球標(biāo)有字母A,3個(gè)球標(biāo)有字母B;第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè);第三個(gè)盒子中有紅球8個(gè),白球2個(gè).試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行:先在第一個(gè)盒子中任取一個(gè)球,若取得標(biāo)有字母A的球,則在第二個(gè)盒子中任取一個(gè)球;若第一次取得標(biāo)有字母B的球,則在第三個(gè)盒子中任取一個(gè)球.若第二次取出的是紅球,則稱試驗(yàn)成功,求試驗(yàn)成功的概率.
[解] 設(shè)A={從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母A的球}, B={從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母B的球},
R={第二次取出的球是紅球},
易得P(A)=,P(B)=, P(R|A)=,P(R|B)=,
事件“試驗(yàn)成功”表示為RA∪RB,又事件RA與事件RB互斥,故由概率的加法公式得
P(RA∪RB)=P(RA)+P(RB)=P(R|A)·P(A)+P(R|B)·P(B)=×+×=0.59.
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獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
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【例2】 實(shí)力相等的甲、乙兩隊(duì)參加乒乓球團(tuán)體比賽,規(guī)定5局3勝制(即5局內(nèi)誰先贏3局就算勝出并停止比賽).
(1)試分別求甲打完3局、4局、5局才能取勝的概率;
(2)按比賽規(guī)則甲獲勝的概率.
[解] (1)甲、乙兩隊(duì)實(shí)力相等,所以每局比賽甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為.
記事件A=“甲打完3局才能取勝”,記事件B=“甲打完4局才能取勝”,記事件C=“甲打完5局才能取勝”.
①甲打完3局取勝,相當(dāng)于進(jìn)行3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),且每局比賽甲均取勝,
∴甲打完3局取勝的概率為P(A)=C=.