第2課時 離散型隨機變量的方差
|
學 習 目 標
|
核 心 素 養(yǎng)
|
|
1.理解離散型隨機變量的方差及標準差的概念.(重點)
2.掌握方差的性質以及兩點分布、二項分布的方差.(重點)
3.會用方差解決一些實際問題.(難點)
|
1.通過學習離散型隨機變量的方差、標準差,體會數學抽象的素養(yǎng).
2.借助方差的性質及兩點分布、二項分布的方差解題,提高數學運算的素養(yǎng).
|


山東省要從甲、乙兩名射擊運動員中選出一人參加第十四屆全運會,根據以往數據,這兩名運動員射擊環(huán)數分布列如下所示.
|
甲的環(huán)數
|
8
|
9
|
10
|
|
P
|
0.2
|
0.6
|
0.2
|
|
乙的環(huán)數
|
8
|
9
|
10
|
|
P
|
0.3
|
0.4
|
0.3
|
問題:如果從平均水平和發(fā)揮穩(wěn)定性角度分析,你認為派誰參加全運會更好一些?

1.離散型隨機變量的方差與標準差
(1)定義:如果離散型隨機變量X的分布列如下表所示.
|
X
|
x1
|
x2
|
…
|
xk
|
…
|
xn
|
|
P
|
p1
|
p2
|
…
|
pk
|
…
|
pn
|
則D(X)=[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn=ni=1[xi-E(X)]2pi,稱為離散型隨機變量X的方差;稱為離散型隨機變量X的標準差.
(2)意義:方差和標準差均刻畫一個離散型隨機變量的離散程度(或波動大小).
(3)性質:若X與Y都是隨機變量,且Y=aX+b(a≠0),則D(Y)=a2D(X).
2.兩點分布及二項分布的方差
(1)若隨機變量X服從參數為p的兩點分布,則D(X)=p(1-p).
(2)若隨機變量X~B(n,p),則D(X)=np(1-p).
思考:兩點分布與二項分布的方差間存在怎樣的聯(lián)系.
[提示] 由于兩點分布是特殊的二項分布,故兩者之間是特殊與一般的關系.即若X~B(n,p),則D(X)=np(1-p),取n=1,則D(X)=p(1-p)就是兩點分布的方差.

1.思考辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)離散型隨機變量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值. ( )
(2)離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平. ( )
(3)離散型隨機變量X的期望E(X)反映了X取值的波動水平. ( )
(4)離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的波動水平. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2.設隨機變量ξ的方差D(ξ)=1,則D(2ξ+1)的值為( )
A.2 B.3
C.4 D.5
C [因為D(2ξ+1)=4D(ξ)=4×1=4,故選C.]
3.若隨機變量ξ~B,則D(ξ)=________.
1 [∵ξ~B,∴D(ξ)=4××=1.]
4.已知隨機變量X的分布列為
則X的標準差為________.
[E(X)=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,
∴D(X)=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+
(5-3.2)2×0.5=3.56.
∴X的標準差為==.]