4.1.2 乘法公式與全概率公式
第1課時 乘法公式
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學 習 目 標
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核 心 素 養(yǎng)
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1.掌握乘法公式及其推廣.(重點)
2.會用乘法公式及全概率公式求相應(yīng)事件的概率.(難點)
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1.通過乘法公式及其推廣的學習,體會數(shù)學抽象的素養(yǎng).
2.借助乘法公式及其推廣解題,提升數(shù)學運算素養(yǎng).
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小明在登陸電子郵箱時,發(fā)現(xiàn)忘了密碼的最后一位,只記得是數(shù)字0~9中的任意一個.
問題:他在嘗試登陸時,第一次失敗,第二次成功的概率是多少?

乘法公式及其推廣
(1)乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A),其中P(A)>0.
(2)乘法公式的推廣:
設(shè)Ai表示事件,i=1,2,3,且P(Ai)>0,P(A1A2)>0,
則P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2).
其中P(A3|A1A2)表示已知A1與A2都發(fā)生時A3發(fā)生的概率,P(A1A2A3)表示A1A2A3同時發(fā)生的概率.
思考:P(AB),P(B),P(A|B)(其中P(B)>0)之間存在怎樣的等量關(guān)系?
[提示] P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)>0.

1.思考辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)P(AB)=P(BA). ( )
(2)P(AB)=P(A)P(B). ( )
(3)P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3),其中P(A1)>0,P(A2A1)>0,P(A1A2A3)>0. ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2.已知P(B|A)=,P(A)=,則P(AB)等于( )
A. B.
C. D.
C [P(AB)=P(B|A)·P(A)=×=,故選C.]
3.某人忘記了一個電話號碼的最后一個數(shù)字,只好去試撥,他第一次失敗、第二次成功的概率是( )
A. B.
C. D.
A [記事件A為第一次失敗,事件B為第二次成功,則P(A)=,P(B|A)=,所以P(AB)=P(A)P(B|A)=.]
4.若P(B|A)=,則P(|A)=________.
[P(|A)=1-P(B|A)=1-=.]

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乘法公式及其應(yīng)用
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【例1】 一袋中裝10個球, 其中3個黑球、7個白球, 先后兩次從中隨意各取一球(不放回), 求兩次取到的均為黑球的概率.
[解] 設(shè)Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i=1,2),則A1A2表示事件“兩次取到的均為黑球”. 由題設(shè)知P(A1)=,P(A2|A1)=,
于是根據(jù)乘法公式, 有P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=×=.