排列、組合與二項式定理
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兩個計數(shù)原理的應用
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【例1】 (1)方程＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，其中m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么這樣的橢圓的個數(shù)是________．
(2)某電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告、兩個不同的宣傳廣告、一個公益廣告，要求最后播放的不能是商業(yè)廣告，且宣傳廣告與公益廣告不能連續(xù)播放，兩個宣傳廣告也不能連續(xù)播放，則有多少種不同的播放方式？
(1)20 [以m的值為標準分類，分五類：
第一類：m＝1時，使n>m，n有6種選擇；
第二類：m＝2時，使n>m，n有5種選擇；
第三類：n＝3時，使n>m，n有4種選擇；
第四類：n＝4時，使n>m，n有3種選擇；
第五類：n＝5時，使n>m，n有2種選擇；
所以共有6＋5＋4＋3＋2＝20種方法．]
(2)[解] 用1,2,3,4,5,6表示廣告的播放順序，則完成這件事有三類方法．
第一類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是2,4,6.分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×1＝36種不同的播放方式；
第二類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1,4,6，分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×1＝36種不同的播放方式．
第三類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1,3,6，同樣分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×1＝36種不同的播放方式．由分類加法計數(shù)原理得：6個廣告不同的播放方式有36＋36＋36＝108種．
(變條件)若本例(1)的條件“焦點在y軸上”改為“焦點在x軸上”，試求滿足條件的橢圓的個數(shù)．
[解] 因為方程表示焦點在x軸上的橢圓，則m>n>0，
以m的取值進行分類．
當m＝1時，n值不存在；
當m＝2時，n可取1，只有1種選擇；
當m＝3時，n可取1,2，有2種選擇；
當m＝4時，n可取1,2,3，有3種選擇；
當m＝5時，n可取1,2,3,4，有4種選擇；
由分類加法計數(shù)原理可知，符合條件的橢圓共有10個．
應用兩個計數(shù)原理解決應用問題時主要考慮三方面的問題：(1)要做什么事；(2)如何去做這件事；(3)怎樣才算把這件事完成了.并注意計數(shù)原則：分類用加法，分步用乘法.
1．有六名同學報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法？(不一定六名同學都參加)
(1)每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限；
(2)每項限報一人，且每人至多參加一項；
(3)每項限報一人，但每人參加的項目不限．
[解] (1)每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同選法，由分步乘法計數(shù)原理，知共有選法36＝729(種)．
(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目只有4種選法，由分步乘法計數(shù)原理，得共有報名方法6×5×4＝120(種)．
(3)由于每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽，由分步乘法計數(shù)原理，得共有不同的報名方法63＝216(種).
