3.1 排列與組合
3.1.1 基本計數(shù)原理
第1課時 基本計數(shù)原理
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.通過實例,能歸納總結(jié)出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理.(重點(diǎn))
2.正確理解“完成一件事情”的含義,能根據(jù)具體問題的特征,選擇“分類”或“分步”.(易混點(diǎn))
3.能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題.(難點(diǎn))
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1.通過兩個計數(shù)原理的學(xué)習(xí),培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng).
2.借助兩個計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).
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十三屆全國人大三次會議在京召開,某政協(xié)委員5月19日從泉城濟(jì)南前往北京參加會議,他有兩類快捷途徑:一是乘坐飛機(jī),二是乘坐動車組.假如這天適合他乘坐的飛機(jī)有3個航班,動車組有4個班次.
問題1:此委員這一天從濟(jì)南到北京共有多少種快捷途徑?
問題2:如果該委員需要在5月19日先從家鄉(xiāng)乘坐汽車到達(dá)濟(jì)南市,再乘坐飛機(jī)前往北京參加會議,其中汽車有4班,飛機(jī)有3個航班,問:此委員想從家鄉(xiāng)到達(dá)北京共有多少種途徑?

1.分類加法計數(shù)原理
完成一件事,如果有n類辦法 且:第一類辦法中有m1種不同的方法,第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.
2.分步乘法計數(shù)原理
完成一件事,如果需要分成n個步驟,且:做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.
思考:在分步乘法計數(shù)原理中,第1步采用的方法與第2步采用的方法之間有影響嗎?
[提示] 無論第1步采用哪種方法,都不影響第2步方法的選取.
拓展:兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系:
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分類加法計數(shù)原理
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分步乘法計數(shù)原理
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區(qū)別一
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每類辦法都能獨(dú)立地完成這件事,它是獨(dú)立的、一次的,且每次得到的是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事
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每一步得到的只是中間結(jié)果(最后一步除外),任何一步都不能獨(dú)立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各步都完成了,才能完成這件事
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區(qū)別二
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各類辦法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的
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各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的,“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨(dú)立”確保不重復(fù)
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聯(lián)系
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這兩個原理都是用來計算做一件事情的不同方法數(shù)
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1.思考辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在分類加法計數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同. ( )
(2)在分類加法計數(shù)原理中,每類方案中的方法都能完成這件事.( )
(3)在分步乘法計數(shù)原理中,每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的. ( )
(4)在分步乘法計數(shù)原理中,事情是分兩步完成的,其中任何一個單獨(dú)的步驟都能完成這件事. ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4) ×
2.(教材P4嘗試與發(fā)現(xiàn)改編)從A地到B地,可乘汽車、火車、輪船三種交通工具,如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次,火車發(fā)4次,輪船發(fā)2次,那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為( )
A.1+1+1=3 B.3+4+2=9
C.3×4×2=24 D.以上都不對
B [分三類:第一類,乘汽車,從3次中選1次有3種走法;第二類,乘火車,從4次中選1次有4種走法;第三類,乘輪船,從2次中選1次有2種走法.所以,共有3+4+2=9種不同的走法.]
3.已知x∈{2,3,7},y∈{-1,-2,4},則(x,y)可表示不同的點(diǎn)的個數(shù)是( )
A.1 B.3
C.6 D.9
D [這件事可分為兩步完成:第一步,在集合{2,3,7}中任取一個值x有3種方法;第二步,在集合{-1,-2,4}中任取一個值y有3種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知,有3×3=9個不同的點(diǎn).]
4.一個禮堂有4個門,若從任一個門進(jìn),從任一門出,共有不同走法________種.
16 [由分步乘法計數(shù)原理得4×4=16.]