3.3.3 函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.能夠區(qū)分極值與最值兩個(gè)不同的概念.(易混點(diǎn))
2.掌握在閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)的求法.(重點(diǎn))
3.能根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)的值.(難點(diǎn))
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1.通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)與最值的關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直觀的素養(yǎng).
2.借助函數(shù)最值的求法,提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).
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1.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最值
如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,則該函數(shù)在[a,b]上一定能夠取得最大值和最小值,并且函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)取得.
思考:若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上只有一個(gè)極大值點(diǎn)x0,則f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值嗎?
[提示] 根據(jù)極大值和最大值的定義知,f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值.
2.求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最值的步驟
(1)求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值.
(2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)進(jìn)行比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.

1.下列說法正確的是( )
A.函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值
B.函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值
C.函數(shù)的最值一定是極值
D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值
D [極值有可能是最值,但最值未必是極值,故選D.]
2.函數(shù)y=x-sin x,x∈的最大值是( )
A.π-1 B.-1
C.π D.π+1
C [y′=1-cos x>0,故函數(shù)y=x-sin x,x∈是增函數(shù),因此當(dāng)x=π時(shí),函數(shù)有最大值,且ymax=π-sin π=π.]
3.函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,1]上的最大值是( )
A.-2 B.0
C.2 D.4
C [f′(x)=3x2-6x,令f′(x)=0得x=0或x=2.
由f(-1)=-2,f(0)=2,f(1)=0得f(x)max=f(0)=2.]

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求函數(shù)的最值
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【例1】 求下列各函數(shù)的最值.
(1)f(x)=2x3-3x2-12x+5,x∈[-2,1];
(2)f(x)=ex(3-x2),x∈[2,5].
[解] (1)f′(x)=6x2-6x-12,令f′(x)=0得x=-1或x=2,
又x∈[-2,1],故x=-1,且f(-1)=12.
又因?yàn)?/span>f(-2)=1,f(1)=-8,
所以,當(dāng)x=-1時(shí),f(x)取最大值12;
當(dāng)x=1時(shí),f(x)取最小值-8.
(2)∵f(x)=3ex-exx2,
∴f′(x)=3ex-(exx2+2exx)
=-ex(x2+2x-3)
=-ex(x+3)(x-1).
∵在區(qū)間[2,5]上,f′(x)=-ex(x+3)(x-1)<0,
即函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,5]上單調(diào)遞減,
∴x=2時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值f(2)=-e2;
x=5時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值f(5)=-22e5.

求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的步驟
(1)求f′(x),解方程f′(x)=0;
(2)確定在閉區(qū)間上方程f′(x)=0的根;
(3)求極值、端點(diǎn)值,確定最值.