3.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
3.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)
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學 習 目 標
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核 心 素 養(yǎng)
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1.理解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系.(重點)
2.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和其他函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(重點)
3.能根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù).(難點)
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1.通過學習函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系,培養(yǎng)學生數(shù)學抽象與直觀想象的素養(yǎng).
2.借助導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學運算的素養(yǎng).
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1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系
(1)在區(qū)間(a,b)內(nèi)函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性有如下關(guān)系:
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導數(shù)
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函數(shù)的單調(diào)性
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f′(x)>0
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單調(diào)遞增
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f′(x)<0
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單調(diào)遞減
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f′(x)=0
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常函數(shù)
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(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)有如下關(guān)系:
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函數(shù)的單調(diào)性
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導數(shù)
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單調(diào)遞增
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f′(x)≥0
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單調(diào)遞減
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f′(x)≤0
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常函數(shù)
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f′(x)=0
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思考:在區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增是f′(x)>0的什么條件?
[提示] 必要不充分條件.
2.函數(shù)的變化快慢與導數(shù)的關(guān)系
一般地,如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大,那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快,這時,函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);反之,函數(shù)的圖象就“平緩”一些.

1.函數(shù)y=x3+x的單調(diào)遞增區(qū)間為( )
A.(0,+∞) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(-∞,+∞)
D [y′=3x2+1>0,故選D.]
2.函數(shù)f(x)=2x-sin x在(-∞,+∞)上( )
A.增函數(shù) B.減函數(shù)
C.先增后減 D.先減后增
A [∵f(x)=2x-sin x,∴f′(x)=2-cos x>0,∴f(x)在R上是增函數(shù).]
3.若函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)=x(x-2),則f(x)在區(qū)間________上單調(diào)遞減.
[0,2] [∵f′(x)=x(x-2),由f′(x)≤0得,0≤x≤2,
∴f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減.]

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導數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系
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【例1】 (1)f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導函數(shù),若y=f′(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是( )


(2)已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f′(x)的圖象可能是圖中的 ( )


(1)D (2)C [(1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界點判斷原函數(shù)在此分界點兩側(cè)的圖象的上升和下降趨勢.由已知可得x的取值范圍和f′(x)的正、負,f(x)的增減變化情況如下表所示: