第2章 圓錐曲線與方程

[鞏固層·知識整合]

[提升層·題型探究]
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圓錐曲線的定義及應用
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【例1】 (1)已知動點M的坐標滿足方程5=|3x+4y-12|,則動點M的軌跡是( )
A.橢圓 B.雙曲線
C.拋物線 D.以上都不對
(2)已知雙曲線C的離心率為2,左、右焦點分別為F1,F2,點A在C上.若|F1A|=2|F2A|,則cos∠AF2F1=( )
A. B.
C. D.
(1)C (2)B [(1)把軌跡方程5
=|3x+4y-12|寫成=.
∴動點M到原點的距離與它到直線3x+4y-12=0的距離相等.∴點M的軌跡是以原點為焦點,直線3x+4y-12=0為準線的拋物線.
(2)由e==2,得c=2a,如圖,由雙曲線的定義得|F1A|-|F2A|=2a,

又|F1A|=2|F2A|,故|F1A|=4a,
|F2A|=2a.
又|F1F2|=2c=4a,
所以cos∠AF2F1===.故選B.]

“回歸定義”解題的三點應用
應用一:在求軌跡方程時,若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義,則根據(jù)圓錐曲線的定義,寫出所求的軌跡方程;
應用二:涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個定點構(gòu)成的三角形問題時,常用定義結(jié)合解三角形的知識來解決;
應用三:在求有關(guān)拋物線的最值問題時,常利用定義把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離,結(jié)合幾何圖形,利用幾何意義去解決.
提醒:應用定義解題時注意圓錐曲線定義中的限制條件.