2.2.2 雙曲線的簡單幾何性質
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學 習 目 標
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核 心 素 養(yǎng)
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1.掌握雙曲線的簡單幾何性質.(重點)
2.理解雙曲線的漸近線及離心率的意義.(難點)
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1.通過學習雙曲線的簡單幾何性質,培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng).
2.借助雙曲線的幾何性質解題,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學運算的素養(yǎng).
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1.雙曲線的幾何性質
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標準方程
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-=1(a>0,b>0)
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-=1(a>0,b>0)
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圖形
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性質
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范圍
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x≥a或x≤-a
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y≤-a或y≥a
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對稱性
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對稱軸:坐標軸,對稱中心:原點
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頂點
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(-a,0),(a,0)
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(0,-a),(0,a)
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軸長
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實軸長=2a,虛軸長=2b
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離心率
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e=>1
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漸近線
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y=±x
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y=±x
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思考:(1)漸近線相同的雙曲線是同一條雙曲線嗎?
(2)雙曲線的離心率和漸近線的斜率有怎樣的關系?
[提示] (1)漸近線相同的雙曲線有無數(shù)條,但它們實軸與虛軸的長的比值相同.
(2)e2==1+,是漸近線的斜率或其倒數(shù).
2.雙曲線的中心和等軸雙曲線
(1)雙曲線的中心
雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心.
(2)等軸雙曲線
實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線,其離心率e=.

1.雙曲線-y2=1的頂點坐標是( )
A.(4,0),(0,1) B.(-4,0),(4,0)
C.(0,1),(0,-1) D.(-4,0),(0,-1)
B [由題意知,雙曲線的焦點在x軸上,且a=4,因此雙曲線的頂點坐標是(-4,0),(4,0).]
2.中心在原點,實軸長為10,虛軸長為6的雙曲線的標準方程是( )
A.-=1
B.-=1或-=1
C.-=1
D.-=1或-=1
B [由題意可知2a=10,2b=6,即a=5,b=3,∴雙曲線的標準方程為-=1或-=1,故選B.]
3.若點M(x0,y0)是雙曲線-=1上任意一點,則x0的取值范圍是________,y0的取值范圍是________;該雙曲線的漸近線方程為________,離心率為________.
(-∞,-4]∪[4,+∞) R y=±x [由-=1得≥1,即x0≥4或x0≤-4,y0∈R.
漸近線方程為y=±x,離心率e===.]