2.2 雙曲線
2.2.1 雙曲線及其標準方程
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學 習 目 標
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核 心 素 養(yǎng)
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1.理解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程.(重點)
2.掌握雙曲線的標準方程及其求法.(重點)
3.會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的問題.(難點)
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1.通過雙曲線的學習,培養(yǎng)學生直觀想象的素養(yǎng).
2.借助雙曲線標準方程的推導,提升數(shù)學運算的素養(yǎng).
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1.雙曲線的定義
把平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線,這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.
思考:(1)雙曲線定義中,將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常數(shù),其他條件不變,點的軌跡是什么?
(2)雙曲線的定義中,若|MF1|-|MF2|=2a(常數(shù)),
且2a<|F1F2|,則點M的軌跡是什么?
[提示] (1)當距離之差的絕對值等于|F1F2|時,動點的軌跡是兩條射線,端點分別是F1,F2,當距離之差的絕對值大于|F1F2|時,動點的軌跡不存在.
(2)點M在雙曲線的右支上.
2.雙曲線的標準方程
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焦點在x軸上
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焦點在y軸上
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標準方程
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-=1(a>0,b>0)
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-=1(a>0,b>0)
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焦點
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F1(-c,0),F2(c,0)
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F1(0,-c),F2(0,c)
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a,b,c的關系
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c2=a2+b2
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1.已知動點P到點M(1,0)及點N(3,0)的距離之差為2,則點P的軌跡是( )
A.雙曲線 B.雙曲線的一支
C.兩條射線 D.一條射線
D [∵|PM|-|PN|=2=|MN|,
∴點P在線段MN的延長線上,即點P的軌跡是一條射線.]
2.雙曲線-=1的焦距為( )
A.3 B.4
C.3 D.4
D [c2=10+2=12,所以c=2,從而焦距為4.]
3.已知雙曲線的a=5,c=7,則該雙曲線的標準方程為( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1或-=1
D.-=0或-=0
C [b2=c2-a2=72-52=24,故選C.]

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對雙曲線標準方程的理解
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【例1】 已知曲線方程-=1.
(1)若方程表示雙曲線,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若方程表示焦點在y軸上的雙曲線,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)若方程表示橢圓,求實數(shù)m的取值范圍.
[解] (1)依題意有(m-1)(m2-4)>0,即(m-1)(m+2)(m-2)>0,解得-2<m<1或m>2.
(2)依題意有解得-2<m<1.
(3)依題意有解得1<m<2.

給出方程=1,則該方程:
(1)表示雙曲線的條件是mn>0;
(2)表示焦點在x軸上的雙曲線的條件是m>0,n>0;
(3)表示焦點在y軸上的雙曲線的條件是m<0,n<0;
(4)表示橢圓的條件是m>0,n<0.