第2課時(shí) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)的應(yīng)用
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.進(jìn)一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用,會(huì)判斷直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系.(重點(diǎn))
2.能運(yùn)用直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系解決相關(guān)的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問(wèn)題.(難點(diǎn))
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借助直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生直觀(guān)想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).
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1.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓+=1(a>b>0)的位置關(guān)系:
點(diǎn)P在橢圓上⇔+=1;
點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部⇔+<1;
點(diǎn)P在橢圓外部⇔+>1.
2.直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系
直線(xiàn)y=kx+m與橢圓+=1(a>b>0)的位置關(guān)系:
聯(lián)立消去y得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程.
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位置關(guān)系
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解的個(gè)數(shù)
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Δ的取值
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相交
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兩解
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Δ>0
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相切
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一解
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Δ=0
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相離
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無(wú)解
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Δ<0
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思考:(1)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)和橢圓相交,兩交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)嗎?
(2)直線(xiàn)y=kx+1與橢圓+=1有怎樣的位置關(guān)系?
[提示] (1)根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性知,兩交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
(2)直線(xiàn)y=kx+1恒過(guò)定點(diǎn)(0,1),點(diǎn)(0,1)在橢圓+=1的內(nèi)部,因此直線(xiàn)與橢圓相交.
3.直線(xiàn)與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式
(1)定義:連接橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的線(xiàn)段稱(chēng)為橢圓的弦.
(2)求弦長(zhǎng)的方法
①交點(diǎn)法:將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立,求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo),然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求.
②根與系數(shù)的關(guān)系法:
如果直線(xiàn)的斜率為k,被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則弦長(zhǎng)公式為:
|AB|=·
=·.

1.已知點(diǎn)(2,3)在橢圓+=1上,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.點(diǎn)(-2,3)在橢圓外 B.點(diǎn)(3,2)在橢圓上
C.點(diǎn)(-2,-3)在橢圓內(nèi) D.點(diǎn)(2,-3)在橢圓上
D [由題意可知+=1,∴點(diǎn)(2,-3)在橢圓上,故選D.]
2.直線(xiàn)y=x+1與橢圓x2+=1的位置關(guān)系是( )
A.相離 B.相切
C.相交 D.無(wú)法確定
C [聯(lián)立消去y,得3x2+2x-1=0,
Δ=22+12=16>0,∴直線(xiàn)與橢圓相交.]
3.橢圓x2+4y2=16被直線(xiàn)y=x+1截得的弦長(zhǎng)為________.
[由
消去y并化簡(jiǎn)得x2+2x-6=0.
設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為M(x1,y1),N(x2,y2),
則x1+x2=-2,x1x2=-6.
∴弦長(zhǎng)|MN|=|x1-x2|
===.]