2.4.2 拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.掌握拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì).(重點(diǎn))
2.掌握直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的判斷及相關(guān)問(wèn)題.(重點(diǎn))
3.能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點(diǎn)弦、弦中點(diǎn)等問(wèn)題.(難點(diǎn))
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1.通過(guò)拋物線(xiàn)幾何性質(zhì)的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).
2.通過(guò)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系、焦點(diǎn)弦及中點(diǎn)弦、拋物線(xiàn)綜合問(wèn)題的學(xué)習(xí),提升學(xué)生的邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
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1.拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)
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標(biāo)準(zhǔn)方程
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y2=2px(p>0)
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y2=-2px(p>0)
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x2=2py(p>0)
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x2=-2py(p>0)
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圖形
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性質(zhì)
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焦點(diǎn)
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準(zhǔn)線(xiàn)
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x=-
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x=
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y=-
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y=
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范圍
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x≥0,y∈R
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x≤0,y∈R
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y≥0,x∈R
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y≤0,x∈R
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對(duì)稱(chēng)軸
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x軸
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y軸
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頂點(diǎn)
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(0,0)
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離心率
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e=1
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2.已知過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有:
(1)y1y2=-p2,x1x2=;
(2)|AB|=x1+x2+p,|AF|=x1+;
(3)以AB為直徑的圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切.
3.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系
直線(xiàn)y=kx+b與拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程組解的個(gè)數(shù),即二次方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0解的個(gè)數(shù).
當(dāng)k≠0時(shí),若Δ>0,則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn);若Δ=0時(shí),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn);若Δ<0時(shí),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn).
當(dāng)k=0時(shí),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行或重合,此時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn).
思考:直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn),那么直線(xiàn)與拋物線(xiàn)一定相切嗎?
[提示] 可能相切,也可能相交,當(dāng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行或重合時(shí),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交且只有一個(gè)公共點(diǎn).

1.拋物線(xiàn)y=4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)M到x軸的距離是( )
A. B.
C.1 D.
D [拋物線(xiàn)方程可化為x2=y,其準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-,點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到準(zhǔn)線(xiàn)的距離.∴點(diǎn)M到x軸的距離是.]
2.頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸為x軸,頂點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2的拋物線(xiàn)方程是( )
A.y2=16x B.y2=8x
C.y2=±8x D.y2=±16x
C [頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸為x軸的拋物線(xiàn)方程有兩個(gè):y2=-2px,y2=2px(p>0),由頂點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2知p=4,故選C.]
3.過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),若x1+x2=6,則|AB|=( )
A.10 B.8
C.6 D.4
B [|AB|=x1+x2+p=6+2=8.]
4.已知過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交該拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),|AF|=2,則|BF|=________.
2 [F(1,0),由拋物線(xiàn)定義得A點(diǎn)橫坐標(biāo)為1.
∴AF⊥x軸,
∴|BF|=|AF|=2.]