2.4 拋物線
2.4.1 拋物線及其標準方程
|
學 習 目 標
|
核 心 素 養(yǎng)
|
|
1.掌握拋物線的定義及焦點、準線的概念.(重點)
2.掌握拋物線的標準方程及其推導過程.(易錯點)
3.明確p的幾何意義,并能解決簡單的求拋物線標準方程問題.(難點)
|
1.通過拋物線定義的學習,培養(yǎng)數(shù)學抽象核心素養(yǎng).
2.通過拋物線定義及標準方程的應用,培養(yǎng)學生的直觀想象、數(shù)學建模等核心素養(yǎng).
|


1.拋物線的定義
平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線.
思考1:拋物線的定義中,若點F在直線l上,那么點的軌跡是什么?
[提示] 點的軌跡是過點F且垂直于直線l的直線.
2.拋物線的標準方程
|
圖形
|
標準方程
|
焦點坐標
|
準線方程
|
|

|
y2=2px(p>0)
|
F
|
x=-
|
|

|
y2=-2px(p>0)
|
F
|
x=
|
|

|
x2=2py(p>0)
|
F
|
y=-
|
|

|
x2=-2py(p>0)
|
F
|
y=
|
思考2:(1)拋物線方程中p(p>0)的幾何意義是什么?
(2)根據(jù)拋物線方程如何確定焦點的位置?
[提示] (1)p的幾何意義是焦點到準線的距離.
(2)根據(jù)拋物線方程中一次式±2px,±2py來確定焦點位置,“x,y”表示焦點在x軸或y軸上,系數(shù)“±2p”的正負確定焦點在坐標軸的正半軸或負半軸上.

1.拋物線x2+8y=0的焦點坐標是( )
A.(0,2) B.(0,-2)
C.(0,4) D.(0,-4)
B [拋物線x2=-8y的焦點在y軸的負半軸上,且=2,因此焦點坐標是(0,-2).]
2.拋物線y2=8x的焦點到準線的距離是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
C [由y2=8x得p=4,即焦點到準線的距離為4.]
3.拋物線x=4y2的準線方程是( )
A.y= B.y=-1
C.x=- D.x=
C [由x=4y2得y2=x,故準線方程為x=-.]
4.拋物線y2=-12x上與焦點的距離等于9的點的坐標是________.
(-6,6)或(-6,-6) [由y2=-12x知p=6,準線方程為x=3,設(shè)拋物線上點P(x,y),由拋物線定義可知-x+3=9,x=-6,將x=-6代入y2=-12x,得y=±6,所以滿足條件的點為(-6,6)或(-6,-6).]