2.3.2 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.掌握雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).(重點(diǎn))
2.理解雙曲線的漸近線及離心率的意義.(重點(diǎn))
3.能用雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.(難點(diǎn))
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1.通過(guò)學(xué)習(xí)雙曲線的幾何性質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).
2.借助雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用及直線與雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用,提升學(xué)生的直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng).
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1.雙曲線的幾何性質(zhì)
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標(biāo)準(zhǔn)方程
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-=1(a>0,b>0)
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-=1(a>0,b>0)
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圖形
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性質(zhì)
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范圍
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x≥a或x≤-a
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y≤-a或y≥a
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對(duì)稱(chēng)性
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對(duì)稱(chēng)軸:坐標(biāo)軸,對(duì)稱(chēng)中心:原點(diǎn)
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頂點(diǎn)
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(-a,0),(a,0)
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(0,-a),(0,a)
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軸長(zhǎng)
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實(shí)軸長(zhǎng)=2a,虛軸長(zhǎng)=2b
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離心率
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e=>1
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漸近線
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y=±x
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y=±x
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思考:(1)漸近線相同的雙曲線是同一條雙曲線嗎?
(2)雙曲線的離心率和漸近線的斜率有怎樣的關(guān)系?
[提示] (1)漸近線相同的雙曲線有無(wú)數(shù)條,但它們實(shí)軸與虛軸的長(zhǎng)的比值相同.
(2)e2==1+,是漸近線的斜率或其倒數(shù).
2.雙曲線的中心和等軸雙曲線
(1)雙曲線的中心
雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心叫做雙曲線的中心.
(2)等軸雙曲線
實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線,其離心率e=.

1.雙曲線-y2=1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A.(4,0),(0,1) B.(-4,0),(4,0)
C.(0,1),(0,-1) D.(-4,0),(0,-1)
B [由題意知,雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,且a=4,因此雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-4,0),(4,0).]
2.已知雙曲線9y2-m2x2=1(m>0)的一個(gè)頂點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為,則m=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
D [方程9y2-m2x2=1(m>0)可化為-=1(m>0),則a=,b=,取頂點(diǎn),一條漸近線為mx-3y=0,所以=,則m2+9=25.
∵m>0,∴m=4.]
3.若雙曲線-=1(m>0)的漸近線方程為y=±x,則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________.
(-,0),(,0) [由雙曲線方程得出其漸近線方程為y=±x,∴m=3,求得雙曲線方程為-=1,從而得到焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-,0),(,0).]
4.離心率e=,經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3,-5)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
-=1 [由=,得c=a,∴c2=2a2=a2+b2,∴a2=b2.
由點(diǎn)M(3,-5)在y=-x的下方可知雙曲線焦點(diǎn)在y軸上,
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,將點(diǎn)M(3,-5)代入得-=1,解得a2=16.
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.]