2.3 雙曲線
2.3.1 雙曲線及其標準方程
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學 習 目 標
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核 心 素 養(yǎng)
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1.理解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程.(重點)
2.掌握雙曲線的標準方程及其求法.(重點)
3.會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的問題.(難點)
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1.通過雙曲線概念的學習,培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).
2.通過雙曲線標準方程的求解、與雙曲線有關的軌跡問題的學習,提升學生的數(shù)學運算、邏輯推理及數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).
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1.雙曲線的定義
把平面內與兩個定點F1,F2距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線,這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.
思考:(1)雙曲線定義中,將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常數(shù),其他條件不變,點的軌跡是什么?
(2)雙曲線的定義中,F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點,若|MF1|-|MF2|=2a(常數(shù)),且2a<|F1F2|,則點M的軌跡是什么?
[提示] (1)當距離之差的絕對值等于|F1F2|時,動點的軌跡是兩條射線,端點分別是F1,F2,當距離之差的絕對值大于|F1F2|時,動點的軌跡不存在.
(2)點M在雙曲線的右支上.
2.雙曲線的標準方程
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焦點在x軸上
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焦點在y軸上
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標準方程
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-=1(a>0,b>0)
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-=1(a>0,b>0)
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焦點
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F1(-c,0),F2(c,0)
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F1(0,-c),F2(0,c)
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a,b,c的關系
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c2=a2+b2
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1.動點P到點M(1,0)的距離與點N(3,0)的距離之差為2,則點P的軌跡是( )
A.雙曲線 B.雙曲線的一支
C.兩條射線 D.一條射線
D [由已知|PM|-|PN|=2=|MN|,所以點P的軌跡是一條以N為端點的射線NP.]
2.雙曲線-x2=1的焦點坐標是( )
A.(±,0) B.(0,±)
C.(0,±2) D.(±2,0)
C [根據(jù)題意,雙曲線的方程為-x2=1,其焦點在y軸上,且c==2;則其焦點坐標為(0,±2).]
3.橢圓+=1與雙曲線-=1有相同的焦點,則k應滿足的條件是( )
A.k>3 B.2<k<3
C.k=2 D.0<k<2
C [雙曲線-=1的焦點坐標為(±,0),橢圓的焦點坐標為(±,0),由橢圓+=1與雙曲線-=1有相同的焦點,可得3+k=9-k2,因為k>0,所以解得k=2.]
4.與雙曲線-=1具有相同焦點的雙曲線方程是________(只寫出一個即可).
-=1 [與-=1具有相同焦點的雙曲線方程為-=1(-8<k<10).]