第2課時 橢圓的標準方程及性質(zhì)的應(yīng)用
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學(xué) 習(xí) 目 標
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核 心 素 養(yǎng)
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1.進一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用,會判斷直線與橢圓的位置關(guān)系.(重點)
2.能運用直線與橢圓的位置關(guān)系解決相關(guān)的弦長、中點弦問題.(難點)
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1.通過直線與橢圓位置關(guān)系的判斷,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng).
2.通過弦長、中點弦問題及橢圓綜合問題的學(xué)習(xí),提升學(xué)生的邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
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1.點與橢圓的位置關(guān)系
點P(x0,y0)與橢圓+=1(a>b>0)的位置關(guān)系:
點P在橢圓上⇔+=1;
點P在橢圓內(nèi)部⇔+<1;
點P在橢圓外部⇔+>1.
2.直線與橢圓的位置關(guān)系
直線y=kx+m與橢圓+=1(a>b>0)的位置關(guān)系:
聯(lián)立消去y得一個關(guān)于x的一元二次方程.
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位置關(guān)系
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解的個數(shù)
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Δ的取值
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相交
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兩解
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Δ>0
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相切
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一解
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Δ=0
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相離
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無解
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Δ<0
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思考:(1)過原點的直線和橢圓相交,兩交點關(guān)于原點對稱嗎?
(2)直線y=kx+1與橢圓+=1有怎樣的位置關(guān)系?
[提示] (1)根據(jù)橢圓的對稱性知,兩交點關(guān)于原點對稱.
(2)直線y=kx+1恒過定點(0,1),點(0,1)在橢圓+=1的內(nèi)部,因此直線與橢圓相交.

1.直線y=x+1與橢圓x2+=1的位置關(guān)系是( )
A.相離 B.相切
C.相交 D.無法確定
C [聯(lián)立消去y,得3x2+2x-1=0,
Δ=22+12=16>0,
∴直線與橢圓相交.]
2.直線x+2y=m與橢圓+y2=1只有一個交點,則m的值為( )
A.2 B.±
C.±2 D.±2
C [由消去y并整理得
2x2-2mx+m2-4=0.
由Δ=4m2-8(m2-4)=0,得m2=8.∴m=±2.]
3.若點A(a,1)在橢圓+=1的內(nèi)部,則a的取值范圍是________.
(-,) [∵點A在橢圓內(nèi)部,
∴+<1,∴a2<2,∴-<a<.]
4.經(jīng)過橢圓+y2=1的左焦點F1作傾斜角為60°的直線l,直線l與橢圓相交于A,B兩點,則弦AB的長為________.
[由橢圓的方程知F1(-1,0),
∴直線l的方程y=tan 60°(x+1)=(x+1).
與橢圓的方程聯(lián)立,并消去y得7x2+12x+4=0.
由根與系數(shù)關(guān)系,知xA+xB=-,xAxB=,
∴|AB|=
==.]