2.2 橢圓
2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.理解橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(重點)
2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(重點)
3.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程,并能運用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題.(難點)
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1.通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓焦點三角形的有關(guān)問題學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).
2.借助軌跡方程的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理及直觀想象核心素養(yǎng).
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1.橢圓的定義
把平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓,這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.
思考:(1)橢圓定義中將“大于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”的常數(shù),其他條件不變,點的軌跡是什么?
(2)橢圓定義中將“大于|F1F2|”改為“小于|F1F2|”的常數(shù),其他條件不變,動點的軌跡是什么?
[提示] (1)點的軌跡是線段F1F2.
(2)當(dāng)距離之和小于|F1F2|時,動點的軌跡不存在.
2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
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焦點在x軸上
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焦點在y軸上
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標(biāo)準(zhǔn)方程
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+=1(a>b>0)
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+=1(a>b>0)
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焦點
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(-c,0)與(c,0)
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(0,-c)與(0,c)
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a,b,c的關(guān)系
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c2=a2-b2
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1.設(shè)P是橢圓+=1上的點,若F1,F2是橢圓的兩個焦點,則|PF1|+|PF2|等于( )
A.4 B.5
C.8 D.10
D [由橢圓方程知a2=25,則a=5,|PF1|+|PF2|=2a=10.]
2.橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別為F1(0,-8),F2(0,8),且橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為20,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
C [由題意知c=8,2a=20,∴a=10,
∴b2=a2-c2=36,故橢圓的方程為+=1.]
3.已知經(jīng)過橢圓+=1的右焦點F2作直線AB,交橢圓于A,B兩點,F1是橢圓的左焦點,則△AF1B的周長為________.
40 [由已知得a=10,
△AF1B的周長為|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=40.]
4.橢圓8k2x2-ky2=8的一個焦點坐標(biāo)為(0,),則k的值為________.
-1或- [原方程可化為+=1.
依題意,得即
所以k的值為-1或-.]

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求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
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【例1】 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)兩個焦點的坐標(biāo)分別為(-4,0)和(4,0),且橢圓經(jīng)過點(5,0);
(2)焦點在y軸上,且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0);
(3)經(jīng)過點A(,-2)和點B(-2,1).
[解] (1)由于橢圓的焦點在x軸上,
∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0).
∴a=5,c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9.
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.