2.1 曲線與方程
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.了解曲線上點的坐標(biāo)與方程的解之間的一一對應(yīng)關(guān)系.
2.理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念.(重點)
3.掌握求曲線方程的一般步驟,會求曲線的方程.(難點)
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1.通過曲線與方程的概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
2.借助曲線方程的求法,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)及直觀想象素養(yǎng).
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1.曲線的方程與方程的曲線
一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系:
(1)曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解;
(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點,那么,這個方程叫做曲線的方程,這條曲線叫做方程的曲線.
思考:(1)如果曲線與方程僅滿足“以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點”,會出現(xiàn)什么情況?舉例說明.
(2)如果曲線C的方程是f(x,y)=0,那么點P(x0,y0)在曲線C上的充要條件是什么?
[提示] (1)會出現(xiàn)曲線上的點的坐標(biāo)不滿足方程的情況,如方程y=表示的曲線是半圓,而非整圓.
(2)充要條件是f(x0,y0)=0.
2.求曲線方程的步驟


1.下列結(jié)論正確的個數(shù)為 ( )
(1)過點A(3,0)且垂直于x軸的直線的方程為x=3;
(2)到x軸距離為3的直線方程為y=-3;
(3)到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積等于1的點的軌跡方程為xy=1;
(4)△ABC的頂點A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D為BC的中點,則中線AD的方程為x=0.
A.1 B.2
C.3 D.4
A [(1)滿足曲線方程的定義,∴結(jié)論正確.(2)到x軸距離為3的直線方程還有一個y=3,∴結(jié)論錯誤.(3)∵到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積等于1的點的軌跡方程應(yīng)為|x|·|y|=1,即xy=±1,∴結(jié)論錯誤.(4)∵中線AD是一條線段,而不是直線,∴中線AD的方程為x=0(-3≤y≤0),∴結(jié)論錯誤.]
2.已知直線l:x+y-3=0及曲線C:(x-3)2+(y-2)2=2,則點M(2,1)( )
A.在直線l上,但不在曲線C上
B.在直線l上,也在曲線C上
C.不在直線l上,也不在曲線C上
D.不在直線l上,但在曲線C上
B [將點M的坐標(biāo)代入直線l和曲線C的方程知點M在直線l上,也在曲線C上.]
3.方程4x2-y2+4x+2y=0表示的曲線是( )
A.一個點 B.兩條互相平行的直線
C.兩條互相垂直的直線 D.兩條相交但不垂直的直線
D [∵4x2-y2+4x+2y=0,
∴(2x+1)2-(y-1)2=0,
∴2x+1=±(y-1),
∴2x+y=0或2x-y+2=0,這兩條直線相交但不垂直.]
4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若定點A(-1,2)與動點P(x,y)滿足·=3,則點P的軌跡方程為________.
x-2y+3=0 [由題意=(x,y),=(-1,2),則·=-x+2y.由·=3,得-x+2y=3,即x-2y+3=0.]