2.3 數(shù)學(xué)歸納法
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．(難點、易混點)
2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題．(重點、難點)
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1.通過數(shù)學(xué)歸納法定義的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
2.通過數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng).
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1．數(shù)學(xué)歸納法的定義
一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：
(1)歸納奠基：證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立；
(2)歸納遞推：假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時命題也成立．
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．
思考：數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值是否一定為1?
[提示] 不一定．如證明n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°，第一個值n0＝3.
2．數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示
1．下面四個判斷中，正確的是( )
A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，當(dāng)n＝1時，式子的值為1
B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，當(dāng)n＝1時，式子的值為1＋k
C．式子1＋＋＋…＋(n∈N*)中，當(dāng)n＝1時，式子的值為1＋＋
D．設(shè)f (n)＝＋＋…＋(n∈N*)，則f (k＋1)＝f (k)＋＋＋
C [A中，n＝1時，式子＝1＋k；
B中，n＝1時，式子＝1；
C中，n＝1時，式子＝1＋＋；
D中，f (k＋1)＝f (k)＋＋＋－.故正確的是C.]
2．如果命題p(n)對所有正偶數(shù)n都成立，則用數(shù)學(xué)歸納法證明時，先驗證n＝________成立．
[答案] 2
3.已知Sn＝＋＋＋…＋，則S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想Sn＝________.
[分別將1,2,3,4代入得S1＝， S2＝，S3＝，S4＝，
觀察猜想得Sn＝.]
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用數(shù)學(xué)歸納法證明等式
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【例1】 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“從k到k＋1”左端增乘的代數(shù)式為________．
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：
＋＋…＋＝(n∈N*)．
(1)2(2k＋1) [令f (n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，則
f (k)＝(k＋1) (k＋2)…(k＋k)，
f (k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)．]
(2)證明： ①當(dāng)n＝1時，＝成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(n∈N*)時等式成立，即有
＋＋…＋＝，
則當(dāng)n＝k＋1時，＋＋…＋＋＝＋＝，
