2.2.2 反證法
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.(重點(diǎn)、易混點(diǎn))
2.理解反證法的思考過程,會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問題.(重點(diǎn)、難點(diǎn))
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通過反證法的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng).
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反證法的定義及證題的關(guān)鍵

思考1:反證法的實(shí)質(zhì)是什么?
[提示] 反證法的實(shí)質(zhì)就是否定結(jié)論,推出矛盾,從而證明原結(jié)論是正確的.
思考2:有人說反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理,這種說法對(duì)嗎?為什么?
[提示] 反證法是間接證明中的一種方法,其證明過程是邏輯非常嚴(yán)密的演繹推理.

1.“a<b”的反面應(yīng)是( )
A.a≠b B.a>b
C.a=b D.a=b或a>b
[答案] D
2.用反證法證明“如果a>b,那么>”,假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是________.
[答案] ≤
3.用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟:
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾,故假設(shè)錯(cuò)誤.
②所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角.
③假設(shè)△ABC中有兩個(gè)直角,不妨設(shè)∠A=90°,∠B=90°.
上述步驟的正確順序?yàn)?/span>________.
③①② [由反證法的一般步驟可知,正確的順序應(yīng)為③①②.]
4.應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中,下列選項(xiàng)中可以作為條件使用的有________.(填序號(hào))
①結(jié)論的反設(shè);②已知條件;③定義、公理、定理等;④原結(jié)論.
①②③ [反證法的“歸謬”是反證法的核心,其含義是:從命題結(jié)論的假設(shè)(即把“反設(shè)”作為一個(gè)新的已知條件)及原命題的條件出發(fā),引用一系列論據(jù)進(jìn)行正確推理,推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結(jié)果.]

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用反證法證明否定性命題
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【例1】 已知三個(gè)正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,但不成等差數(shù)列.求證:,,不成等差數(shù)列.
[證明] 假設(shè),,成等差數(shù)列,則+=2,即a+c+2=4b.
∵a,b,c成等比數(shù)列,∴b2=ac,即b=,
∴a+c+2=4,∴(-)2=0,即=.
從而a=b=c,與a,b,c不成等差數(shù)列矛盾,
故,,不成等差數(shù)列.

1.用反證法證明否定性命題的適用類型
結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題,此類問題的正面比較模糊,而反面比較具體,適合使用反證法.
2.用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟