2.2 直接證明與間接證明
2.2.1 綜合法和分析法
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.理解綜合法、分析法的意義,掌握綜合法、分析法的思維特點.(重點、易混點)
2.會用綜合法、分析法解決問題.(重點、難點)
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通過綜合法、分析法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng).
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1.綜合法
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定義
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推證過程
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特點
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利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法
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→→→…→(P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論)
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順推證法或由因?qū)Ч?/span>
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2.分析法
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定義
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框圖表示
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特點
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一般地,從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止,這種證明方法叫做分析法
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逆推證法或執(zhí)果索因法
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思考1:綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理?
[提示] 綜合法與分析法的推理過程是演繹推理,因為綜合法與分析法的每一步推理都是嚴密的邏輯推理,從而得到的每一個結(jié)論都是正確的,不同于合情推理中的“猜想”.
思考2: 綜合法與分析法有什么區(qū)別?
[提示] 綜合法是從已知條件出發(fā),逐步尋找的是必要條件,即由因?qū)Ч;分析法是從待求結(jié)論出發(fā),逐步尋找的是充分條件,即執(zhí)果索因.

1.用分析法證明:欲使①A>B,只需②C<D,這里②是①的( )
A.充分條件 B.必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
A [②⇒①,∴②是①的充分條件.]
2.命題“對于任意角θ,cos4 θ-sin4 θ=cos 2 θ”的證明:“cos4 θ-sin4 θ=(cos2 θ-sin2 θ)(cos2 θ+sin2 θ)=cos2 θ-sin2 θ=cos 2 θ”,其過程應(yīng)用了( )
A.分析法 B.綜合法
C.綜合法、分析法綜合使用 D.間接證法
B [從證明過程來看,是從已知條件入手,經(jīng)過推導(dǎo)得出結(jié)論,符合綜合法的證明思路.]
3.要證明A>B,若用作差比較法,只要證明________.
A-B>0 [要證A>B,只要證A-B>0. ]
4.將下面用分析法證明≥ab的步驟補充完整:要證≥ab,只需證a2+b2≥2ab,也就是證________,即證______,由于______顯然成立,因此原不等式成立.
a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0 [用分析法證明≥ab的步驟為:要證≥ab成立,只需證a2+b2≥2ab,也就是證a2+b2-2ab≥0,即證(a-b)2≥0.由于(a-b)2≥0顯然成立,所以原不等式成立.]

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綜合法的應(yīng)用
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【例1】 (1)已知a,b是正數(shù),且a+b=1,證明:+≥4.
(2)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.
①求證:A的大小為;
②若sin B+sin C=,證明△ABC為等邊三角形.
[證明] (1)法一:∵a,b是正數(shù)且a+b=1,
∴a+b≥2,∴≤,
∴+==≥4.
法二:∵a,b是正數(shù),∴a+b≥2>0,
+≥2>0,
∴(a+b)≥4.
又a+b=1,
∴+≥4.
法三:+=+=1+++1
≥2+2=4.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取“=”號.