§8 最小二乘估計
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學 習 目 標
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核 心 素 養(yǎng)
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1.了解最小二乘法的思想及意義.(重點)
2.會求線性回歸方程并進行簡單應用.(難點)
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1.通過了解最小二乘法的思想及意義, 培養(yǎng)數學抽象素養(yǎng).
2.通過求線性回歸方程并進行簡單的應用,提升數據分析素養(yǎng).
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1.最小二乘法
利用最小二乘法估計時,要先做出數據的散點圖.如果散點圖呈現一定的規(guī)律性,我們再根據這個規(guī)律進行擬合.如果散點圖呈現出線性關系,我們可以用最小二乘法估計出線性回歸方程;如果散點圖呈現出其他的曲線關系,我們就要利用其他的工具進行擬合.
2.線性回歸方程
用表示,
用表示,
由最小二乘法可以求得
b=
=,
a=-b.
這樣得到的直線方程y=a+bx稱為線性回歸方程,a、b是線性回歸方程的系數.
思考:任何一組數據都可以由最小二乘法得出回歸方程嗎?
[提示] 用最小二乘法求回歸方程的前提是先判斷所給數據具有線性相關關系(可利用散點圖來判斷),否則求出的回歸方程是無意義的.

1.變量y對x的回歸方程的意義是( )
A.表示y與x之間的函數關系
B.表示y與x之間的線性關系
C.反映y與x之間的真實關系
D.反映y與x之間的真實關系達到最大限度的吻合
D [線性回歸直線方程最能代表觀測值x、y之間的線性相關關系,反映y與x之間的真實關系達到最大限度的吻合.]
2.下表是x與y之間的一組數據,則y關于x的線性回歸方程y=bx+a必過( )
A.點(2,2) B.點(1.5,2)
C.點(1,2) D.點(1.5,4)
D [回歸方程必過樣本點(,),經計算得(1.5,4).]
3.對有線性相關關系的兩個變量建立的回歸直線方程y=a+bx中,回歸系數b( )
A.不能小于0 B.不能大于0
C.不能等于0 D.只能小于0
C [當b=0時,不具有相關關系,b可以大于0,也可以小于0.]
4.正常情況下,年齡在18歲到38歲的人,體重y(kg)對身高x(cm)的回歸方程為y=0.72x-58.2,張明同學(20歲)身高178 cm,他的體重應該在________kg左右.
69.96 [用回歸方程對身高為178 cm的人的體重進行預測,當x=178時,y=0.72×178-58.2=69.96(kg).]