1.3 算法案例
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.會用輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求兩數(shù)的最大公約數(shù).(重點(diǎn)、易混點(diǎn))
2.會用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值.(重點(diǎn))
3.會在不同進(jìn)位制間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化.(難點(diǎn))
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1.通過古代傳統(tǒng)算法,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
2.借助算法案例,提升邏輯推理素養(yǎng).
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1.輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)
(1)輾轉(zhuǎn)相除法
①輾轉(zhuǎn)相除法是用于求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的一種算法,這種算法是由歐幾里得在公元前300年左右首先提出的,因而又叫歐幾里得算法.
②所謂輾轉(zhuǎn)相除法,就是對于給定的兩個(gè)數(shù),用較大的數(shù)除以較小的數(shù).若余數(shù)不為零,則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù),繼續(xù)上面的除法,直到大數(shù)被小數(shù)除盡,則這時(shí)較小的數(shù)就是原來兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).
(2)更相減損術(shù)
更相減損術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中介紹的一種求兩數(shù)最大公約數(shù)的方法.其基本過程是:第一步,任意給定兩個(gè)正整數(shù),判斷它們是否都是偶數(shù).若是,用2約簡;若不是,執(zhí)行第二步.第二步,以較大的數(shù)減去較小的數(shù),接著把所得的差與較小的數(shù)比較,并以大數(shù)減小數(shù).繼續(xù)這個(gè)操作,直到所得的數(shù)相等為止,則這個(gè)數(shù)或這個(gè)數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù).
2.秦九韶算法
把一個(gè)n次多項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改寫成如下形式:f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.求多項(xiàng)式的值時(shí),首先計(jì)算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項(xiàng)式的值,即v1=anx+an-1,然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值,即v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,…,vn=vn-1x+a0,這種求n次多項(xiàng)式f(x)的值的方法叫秦九韶算法.
3.進(jìn)位制
(1)進(jìn)位制是人們?yōu)榱?u>計(jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng).“滿k進(jìn)一”就是k進(jìn)制,k進(jìn)制的基數(shù)是 k.
(2)將k進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的方法是:先把k進(jìn)制數(shù)寫成各位上的數(shù)字與k的冪的乘積之和的形式,再按照十進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算出結(jié)果.
(3)將十進(jìn)制數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)方法是:除k取余法.即用k連續(xù)去除十進(jìn)制數(shù)所得的商,直到商為零為止,然后把各步得到的余數(shù)倒排寫出.就是相應(yīng)的k進(jìn)制數(shù).

1.在對16和12求最大公約數(shù)時(shí),整個(gè)操作如下:16-12=4,12-4=8,8-4=4.由此可以看出12和16的最大公約數(shù)是( )
A.4 B.12
C.16 D.8
A [根據(jù)更相減損術(shù)的方法判斷.]
2.下列有可能是4進(jìn)制數(shù)的是( )
A.5123 B.6542
C.3103 D.4312
C [4進(jìn)制中逢4進(jìn)1,
每位上的數(shù)字一定小于4.]
3.已知多項(xiàng)式f(x)=4x5+3x4+2x3-x2-x-,用秦九韶算法求f(-2)等于( )
A.- B.
C. D.-
A [∵f(x)=((((4x+3)x+2)x-1)x-1)x-,
∴f(-2)=-.]
4.利用輾轉(zhuǎn)相除法求3 869與6 497的最大公約數(shù)時(shí),第二步是________
3 869=2 628×1+1 241 [第一步應(yīng)為6 497=3 869×1+2 628;
第二步應(yīng)為3 869=2 628×1+1 241.]