§4 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式
4.1 單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義
4.2 單位圓與周期性
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.理解任意角的正弦、余弦的定義及其應(yīng)用.(重點)
2.掌握同角的正弦、余弦函數(shù)值間的關(guān)系.(重點)
3.理解周期函數(shù)的定義.(難點)
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1.通過學(xué)習(xí)任意角的正弦、余弦的定義及周期函數(shù)的定義,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
2.通過正弦、余弦定義的應(yīng)用及同角的正弦、余弦函數(shù)值間的關(guān)系,提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).
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1.任意角的正弦、余弦函數(shù)的定義
(1)單位圓的定義
在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為圓心,以單位長度為半徑的圓,稱為單位圓.

(2)如圖所示,設(shè)α是任意角,其頂點與原點重合,始邊與x軸非負(fù)半軸重合,終邊與單位圓O交于點P(u,v),那么:
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正弦函數(shù)
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余弦函數(shù)
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定義
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點P的縱坐標(biāo)v定義為角α的正弦函數(shù),記作v=sin α
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點P的橫坐標(biāo)u定義為角α的余弦函數(shù),記作u=cos α
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通常表示法
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y=sin x,定義域為全體實數(shù)集,值域為[-1,1]
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y=cos x,定義域為全體實數(shù)集,值域為[-1,1]
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在各象限的符號
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思考1:對于任意角α,sin α,cos α都有意義嗎?
[提示] 由三角函數(shù)的定義可知,對于任意角α,sin α,cos α都有意義.
2.周期函數(shù)
(1)終邊相同的角的正弦、余弦函數(shù)值的關(guān)系.
①終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等,即
sin (x+2kπ)=sin x(k∈Z).
②終邊相同的角的余弦函數(shù)值相等,即
cos (x+2kπ)=cos x(k∈Z).
(2)一般地,對于函數(shù)f(x),如果存在非零實數(shù)T,對定義域內(nèi)的任意一個x值,都有f(x+T)=f(x),則稱f(x)為周期函數(shù),T稱為這個函數(shù)的周期.
(3)特別地,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù),稱2kπ(k∈Z,k≠0)是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期,其中2π是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中最小的一個,稱為最小正周期.
思考2:由sin (x+k·2π)=sin x(k∈Z)可知函數(shù)值隨著角的變化呈周期性變化,你能說一下函數(shù)的變化周期嗎?
[提示] 2π,4π,6π,-2π,…等都是函數(shù)的周期.

1.已知P(3,4)是終邊α上一點,則sin α等于( )
A. B.
C. D.
C [∵r==5,∴sin α=.]
2.已知角α的終邊上一點的坐標(biāo)為,則角α的最小正值為( )
A. B.
C. D.
D [由題意知,角α的終邊上一點的坐標(biāo)為.
∴cos α==.
又α的終邊在第四象限.
∴α的最小正值為.]
3.已知sin θ·cos θ<0,那么角θ是( )
A.第一或第二象限角
B.第一或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第二或第四象限角