§8 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像與性質(zhì)
第1課時(shí) 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.了解振幅、初相、相位、頻率等有關(guān)概念，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)y＝A sin (ωx＋φ)的圖像．
2．理解并掌握函數(shù)y＝A sin (ωx＋φ)圖像的平移與伸縮變換．(重點(diǎn))
3．掌握A，ω，φ對(duì)圖像形狀的影響．(難點(diǎn))
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1.通過(guò)用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)y＝A sin (ωx＋φ)的圖像，體會(huì)直觀想象素養(yǎng)．
2．通過(guò)學(xué)習(xí)函數(shù)y＝A sin (ωx＋φ)的圖像的平移與伸縮變換，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
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1．參數(shù)A，φ，ω，b的作用(其中A>0，ω>0)
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參數(shù)
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作用
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A，b
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A和b決定了該函數(shù)的值域和振幅，通常稱A為振幅，值域?yàn)?/span>[－A＋b，A＋b]
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φ
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φ決定了x＝0時(shí)的函數(shù)值，通常稱φ為初相
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ω
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ω決定了函數(shù)的周期，其計(jì)算方式為T＝，周期的倒數(shù)f＝＝為頻率
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思考1：函數(shù)y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的周期分別是什么？當(dāng)三個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相同時(shí)，它們x的取值有什么關(guān)系？
[提示] 2π，π，4π.
當(dāng)三個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相同時(shí)，y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的，y＝sin x中x的取值是y＝sin x中x取值的2倍．
2．平移變換
(1)左右平移(相位變換)：對(duì)于函數(shù)y＝sin (x＋φ)(φ≠0)的圖像，可以看作是把y＝sin x的圖像上所有的點(diǎn)向左(當(dāng)φ＞0時(shí))或向右(當(dāng)φ＜0時(shí))平行移動(dòng)|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度得到的．
(2)上下平移：對(duì)于函數(shù)y＝sin x＋b的圖像，可以看作是把y＝sin x的圖像上所有點(diǎn)向上(當(dāng)b＞0時(shí))或向下(當(dāng)b＜0時(shí))平行移動(dòng)|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到的．
思考2：如何由y＝f(x)的圖像變換得到y＝f(x＋a)的圖像？
[提示] 向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個(gè)單位．
3．伸縮變換
(1)振幅變換：對(duì)于函數(shù)y＝A sin x(A＞0，A≠1)的圖像可以看作是把y＝sin x的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(當(dāng)A＞1時(shí))或縮短(當(dāng)0＜A＜1時(shí))到原來(lái)的A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到的．
(2)周期變換：對(duì)于函數(shù)y＝sin ωx(ω＞0，ω≠1)的圖像，可以看作是把y＝sin x的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)ω＞1時(shí))或伸長(zhǎng)(當(dāng)0＜ω＜1時(shí))到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)而得到的．
思考3：對(duì)于同一個(gè)x，函數(shù)y＝2sin x，y＝sin x和y＝sin x的函數(shù)值有何關(guān)系？
[提示] 對(duì)于同一個(gè)x，y＝2sin x的函數(shù)值是y＝sin x的函數(shù)值的2倍，而y＝sin x的函數(shù)值是y＝sin x的函數(shù)值的.
1．函數(shù)y＝2sin 的周期、振幅依次是( )
A．4π，－2 B．4π，2
C．π，2 D．π，－2
[答案] B
2．關(guān)于函數(shù)f(x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四個(gè)結(jié)論：
①f(x)是偶函數(shù)；②f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增；③f(x)在[－π，π]有4個(gè)零點(diǎn)；④f(x)的最大值為2.
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( )
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
C [法一：f(－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，故①正確；當(dāng)＜x＜π時(shí)，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在單調(diào)遞減，故②不正確；f(x)在[－π，π]的圖像如圖所示，由圖可知函數(shù)f(x)在[－π，π]只有3個(gè)零點(diǎn)，故③不正確；∵y＝sin |x|與y＝|sin x|的最大值都為1且可以同時(shí)取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正確．綜上，正確結(jié)論的序號(hào)是①④.故選C.
