§3 弧度制
|
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
|
核 心 素 養(yǎng)
|
|
1.了解角的另外一種度量方法——弧度制.
2.能夠熟練地在角度制和弧度制之間進(jìn)行換算.(重點(diǎn))
3.掌握弧度制中扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式.(難點(diǎn))
|
1.通過(guò)學(xué)習(xí)弧度制的概念,提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
2.通過(guò)角度制和弧度制的換算及弧長(zhǎng)公式和面積公式的應(yīng)用,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
|


1.弧度制
(1)弧度制的定義
在單位圓中,長(zhǎng)度為1的弧所對(duì)的圓心角稱(chēng)為1弧度角.它的單位符號(hào)是rad,讀作弧度.以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制,叫作弧度制.
(2)角度制與弧度制的互化
①弧度數(shù)
(ⅰ)正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù);
(ⅱ)負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù);
(ⅲ)零角的弧度數(shù)是0;
(ⅳ)弧度數(shù)與十進(jìn)制實(shí)數(shù)間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.
②弧度數(shù)的計(jì)算
|α|=.如圖:

③角度制與弧度制的換算

④一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系
|
度
|
0°
|
1°
|
30°
|
45°
|
60°
|
90°
|
120°
|
135°
|
150°
|
180°
|
270°
|
360°
|
|
弧度
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π
|
|
2π
|
思考1:“1弧度的角”的大小和所在圓的半徑大小有關(guān)系嗎?
[提示] 在半徑為1的圓中,1弧度的角為長(zhǎng)度為1的弧所對(duì)的圓心角,又當(dāng)半徑不同時(shí), 同樣的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑之比是常數(shù),故1弧度角的大小與所在圓的半徑大小無(wú)關(guān).
2.弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式
已知r為扇形所在圓的半徑,n為圓心角的度數(shù),α為圓心角的弧度數(shù).
|
|
角度制
|
弧度制
|
|
弧長(zhǎng)公式
|
l=
|
l=|α|r
|
|
扇形面積公式
|
S=
|
S=l·r=|α|r2
|
思考2:扇形的面積與弧長(zhǎng)公式用弧度怎么表示?
[提示] 設(shè)扇形的半徑為r,弧長(zhǎng)為l,α為其圓心角,則S=lr,l=αr.

1.下列說(shuō)法中,錯(cuò)誤的說(shuō)法是( )
A.半圓所對(duì)的圓心角是π rad
B.周角的大小是2π
C.1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于該圓的半徑
D.長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小是1弧度
D [根據(jù)弧度的定義及角度與弧度的換算知A,B,C均正確,D錯(cuò)誤.]
2.時(shí)針經(jīng)過(guò)一小時(shí),時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)了( )
A. rad B.- rad
C. rad D.- rad
B [時(shí)針經(jīng)過(guò)一小時(shí),轉(zhuǎn)過(guò)-30°,
又-30°=- rad,故選B.]