1.3.2 “楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.了解楊輝三角各行數(shù)字的特點及其與組合數(shù)性質(zhì)、二項展開式系數(shù)性質(zhì)間的關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和歸納推理能力.(重點)
2.理解和掌握二項式系數(shù)的性質(zhì),并會簡單應(yīng)用.(難點)
3.理解和初步掌握賦值法及其應(yīng)用.(重點)
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1.通過學(xué)習(xí)二項式系數(shù)的性質(zhì),培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng).
2.借助二項式系數(shù)的性質(zhì)解題,提升數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng).
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1.楊輝三角的特點
(1)在同一行中,每行兩端都是1,與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等.
(2)在相鄰的兩行中,除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和,即C=C+C.
2.二項式系數(shù)的性質(zhì)
(1)對稱性:在(a+b)n的展開式中,與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等,即C=C,C=C,…,C=C.
(2)增減性與最大值:當(dāng)k<時,二項式系數(shù)是逐漸增大的.由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的,且在中間取得最大值.當(dāng)n是偶數(shù)時,中間一項的二項式系數(shù)
取得最大值;當(dāng)n是奇數(shù)時,中間兩項的二項式系數(shù)
與
相等,且同時取得最大值.
3.各二項式系數(shù)的和
(1)C+C+C+…+C=2n;
(2)C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1.

1.(1-2x)15的展開式中的各項系數(shù)和是( )
A.1 B.-1
C.215 D.315
B [令x=1即得各項系數(shù)和,∴各項系數(shù)和為-1.]
2.在(a+b)10二項展開式中與第3項二項式系數(shù)相同的項是( )
A.第8項 B.第7項
C.第9項 D.第10項
C [由二項式展開式的性質(zhì)與首末等距離的兩項的二項式系數(shù)相等.]
3.在(a+b)8的展開式中,二項式系數(shù)最大的項為________,在(a+b)9的展開式中,二項式系數(shù)最大的項為________________.
70a4b4 126a5b4與126a4b5 [因為(a+b)8的展開式中有9項,所以中間一項的二項式系數(shù)最大,該項為Ca4b4=70a4b4.
因為(a+b)9的展開式中有10項,所以中間兩項的二項式系數(shù)最大,這兩項分別為Ca5b4=126a5b4,Ca4b5=126a4b5.]

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“楊輝三角”的應(yīng)用
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【例1】 如圖所示,在“楊輝三角”中斜線AB的上方,從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列:1,2,3,3,6,4,10,5,….記其前n項和為Sn,求S19的值.
[思路點撥] 由圖知,數(shù)列中的首項是C,第2項是C,第3項是C,第4項是C,…,第17項是C,第18項是C,第19項是C.
[解] S19=(C+C)+(C+C)+(C+C)+…+(C+C)+C=(C+C+C+…+C)+(C+C+…+C+C)=(2+3+4+…+10)+C=+220=274.